|
Определить m при которых уравнение относительно x, $$x^4 -(3m+2)x^2 +m^2=0$$ имеет четыре действительных корня, являющиеся членами арифметической прогрессии. задан 8 Янв '13 15:52 
berry |
|
После обозначения $%z=x^2$%, получаем квадратичное уравнение $%z^2-(3m+2)z+m^2=0.$% Надо потребовать, чтобы оно имела две разные положительные корни. Учитывая теорему Виета $%\begin{cases}z_1+z_2=3m+2>0\\z_1\cdot z_2=m^2>0\\D>0 \end{cases}$%. Получаем $% m\in (-0.4;0)\cup(0;\infty)$%. Допустим, что $% 0<z_1<z_2$% и числа $%-\sqrt{z_2};-\sqrt{z_1};\sqrt{z_1};\sqrt{z_2}$% составляют арифмртическую прогрессию , значит $%\sqrt{z_2}-\sqrt{z_1}=2\sqrt{z_1}\Leftrightarrow z_2=9z_1>0. $% Из системы $%\begin{cases}z_1+z_2=3m+2\\z_1\cdot z_2=m^2\\z_2=9z_1\\m\in (-0.4;0)\cup(0;\infty) \end{cases},$% получаем $%9(3m+2)^2=100m^2 \Leftrightarrow m=6;m=-\frac{6}{19}.$% отвечен 8 Янв '13 17:28 
ASailyan |