Предложение. Пусть A и B - подгруппы некоторой группы G, при чем A - нормальная Fπ-отделимая подгруппа группы G, лежащая в B и являющаяся подгруппой конечного индекса группы B. Тогда в группе G существует такая нормальная подгруппа N конечного π-индекса.

 Пусть g∈B∩N . Тогда элемент gA фактор-группы G/A   принадлежит подгруппе B/A  и принадлежит подгруппе N/A (почему?). Так как пересечение этих подгрупп равно единичной подгруппе, имеем  g∈A (почему?). Таким образом, включение g∈B∩N доказано.

Помогите,пожалуйста, расписать словами подробно и со всеми обоснованиями.

задан 7 Мар '17 19:38

10|600 символов нужно символов осталось
0

Из чего состоит факторгруппа $%B/A$% в соответствии с определением? Из смежных классов вида $%gA$%, где $%g\in B$%. Поэтому обосновывать то, что $%gA$% принадлежит обеим факторгруппам, как бы нечего, поскольку мы взяли элемент $%g$% из пересечения $%B$% и $%N$%.

Поскольку здесь было дано, что подгруппы $%B/A$% и $%N/A$% группы $%G/A$% пересекаются по единичному элементу, а он равен смежному классу $%eA=A$%, то мы приходим к равенству $%gA=A$%, которое равносильно $%g\in A$% в силу простейших свойств смежных классов.

Из этого всего следует включение $%B\cap N\subseteq A$%. Обратное включение было известно, так как каждая из подгрупп $%B$% и $%N$% содержала $%A$%. То есть доказано в итоге равенство $%B\cap N=A$% (а вовсе не то, что $%g\in B\cap N$% -- ведь это было дано по условию, так как с этой фразы рассуждение и начиналось).

ссылка

отвечен 8 Мар '17 3:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,151
×866
×260
×23

задан
7 Мар '17 19:38

показан
270 раз

обновлен
8 Мар '17 3:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru