анализ - Исследование функции $%y=(x+2)e^{1/x}$%

1)$% D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$%

2) Функция ни четная ни нечетная, $%y(-1)\ne y(1)$%.

3) Функция не является периодической (уравнение $%y=0$% имеет единственное решение $%x=-2$%).

3) $%y^{'}=\Big((x+2)e^{\frac{1}{x}} \Big)=e^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x}}\frac{x+2}{x^2}=e^{\frac{1}{x}}\frac{x^2-x-2}{x^2}.$%

4) $%y^{'}=0\Leftrightarrow[x=-1;x=2].$%

5) $%y^{'}<0,x\in(-1;0)\cup(0;2)-$% на каждом из этих промежутков функция убывает; $%y^{'}>0,x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty) - $% на каждом из этих промежутков функция возрастает.

6) Из п. 5) следует, что в точке $%-1$% функция имеет максимум, равный $%y(-1)=\frac{1}{e}$%; в точке $%2 -$% минимум $%y(2)=4e^{\frac{1}{2}}.$%

7) $$\lim_{x\rightarrow0-0}(x+2)e^{\frac{1}{x}}=0;\lim_{x\rightarrow0+0}(x+2)e^{\frac{1}{x}}=+\infty.$$

8) Наличие наклонной асимптоты $$k=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{y(x)}{x}=1; b=\lim_{x\rightarrow\infty}(y(x)-kx)=\lim_{x\rightarrow\infty}((x+2)e^{\frac{1}{x}}-x)=\lim_{x\rightarrow\infty}((e^{\frac{1}{x}}-1)x+2e^{\frac{1}{x}})=3;$$$$y=x+3 - $$наклонная асимптота.

9) $$\lim_{x \rightarrow -\infty}y(x)=-\infty;\lim_{x \rightarrow +\infty}y(x)=+\infty.$$

10) Используя полученные результаты, построим график.