Уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста, исследовать функцию. А то не понятно, что делать с экспонентой в процессе после нахождения производных.

$$y=(x+2)e^{1/x}$$

Как в итоге график построить?

@ХэшКод, да, это домашнее задание, но я прошу помощи только потому, что не могу найти выход из сложившейся ситуации. Прошу не закрывать вопрос.

задан 8 Янв '13 16:11

изменен 8 Янв '13 21:36

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

У Вас проблема с производной (не можете взять) или с интерпретацией?

(8 Янв '13 17:08) DocentI

После взятия производной остается экспонента, поэтому не понятно, как приравнять к нулю полученную производную, чтобы найти точки перегиба и выпуклости.

(8 Янв '13 17:11) Валентин

MathCad строит довольно странный график этой функции.

(8 Янв '13 17:12) Валентин

Ещё непонятно исследование особой точки 0.

(8 Янв '13 17:14) Валентин
10|600 символов нужно символов осталось
1

1)$% D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$%

2) Функция ни четная ни нечетная, $%y(-1)\ne y(1)$%.

3) Функция не является периодической (уравнение $%y=0$% имеет единственное решение $%x=-2$%).

3) $%y^{'}=\Big((x+2)e^{\frac{1}{x}} \Big)=e^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x}}\frac{x+2}{x^2}=e^{\frac{1}{x}}\frac{x^2-x-2}{x^2}.$%

4) $%y^{'}=0\Leftrightarrow[x=-1;x=2].$%

5) $%y^{'}<0,x\in(-1;0)\cup(0;2)-$% на каждом из этих промежутков функция убывает; $%y^{'}>0,x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty) - $% на каждом из этих промежутков функция возрастает.

6) Из п. 5) следует, что в точке $%-1$% функция имеет максимум, равный $%y(-1)=\frac{1}{e}$%; в точке $%2 -$% минимум $%y(2)=4e^{\frac{1}{2}}.$%

7) $$\lim_{x\rightarrow0-0}(x+2)e^{\frac{1}{x}}=0;\lim_{x\rightarrow0+0}(x+2)e^{\frac{1}{x}}=+\infty.$$

8) Наличие наклонной асимптоты $$k=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{y(x)}{x}=1; b=\lim_{x\rightarrow\infty}(y(x)-kx)=\lim_{x\rightarrow\infty}((x+2)e^{\frac{1}{x}}-x)=\lim_{x\rightarrow\infty}((e^{\frac{1}{x}}-1)x+2e^{\frac{1}{x}})=3;$$$$y=x+3 - $$наклонная асимптота.

9) $$\lim_{x \rightarrow -\infty}y(x)=-\infty;\lim_{x \rightarrow +\infty}y(x)=+\infty.$$

10) Используя полученные результаты, построим график.

alt text

ссылка

отвечен 8 Янв '13 18:06

изменен 8 Янв '13 22:56

Функция ни четная, ни нечетная,потому что $%|y(-1)|\ne |y(1)|$%.

(8 Янв '13 18:35) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
0

Экспонента после каждого дифференцирования должна оставаться множителем (выносится за скобки), так что ни на знак, ни на обращение в 0 она не влияет.

ссылка

отвечен 8 Янв '13 17:15

Я так понимаю, получается точка разрыва второго рода здесь, но точка перегиба совпадает с ней. Что в таком случае?

(8 Янв '13 17:21) Валентин

Справа и слева от 0 поведение разное. Справа - функция стремится в бесконечности, а слева - к 0

(8 Янв '13 17:21) DocentI

Какой же перегиб, если разрыв!

(8 Янв '13 17:25) DocentI

По графику, который построил маткад, видно, что функция сначала возрастает (от минус бесконечности до нуля), а потом убывает до какой-то точки (до какой?), а потом опять возрастает.

(8 Янв '13 17:26) Валентин

Функция отрицательна при $%x < -2$%, между -2 и 0 у нее "горб", а справа от 0 она убывает от $%+\infty $% до минимума, потом снова возрастает. У функции есть асимптота $%x+3$%, она в обоих "концах" оси $%Ox$%

(8 Янв '13 17:41) DocentI

http://i.imgur.com/Id6V3.jpg - Вот так должен выглядеть график?

(8 Янв '13 17:45) Валентин

Ну да. В нуле слева "горизонтальный" участок.

(8 Янв '13 17:54) DocentI

А до какого минимума она убывает?

(8 Янв '13 17:58) Валентин
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×537
×371

задан
8 Янв '13 16:11

показан
6546 раз

обновлен
9 Янв '13 16:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru