Уважаемые форумчане, помогите, пожалуйста, исследовать функцию. А то не понятно, что делать с экспонентой в процессе после нахождения производных. $$y=(x+2)e^{1/x}$$ Как в итоге график построить? @ХэшКод, да, это домашнее задание, но я прошу помощи только потому, что не могу найти выход из сложившейся ситуации. Прошу не закрывать вопрос. задан 8 Янв '13 16:11 Валентин |
1)$% D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$% 2) Функция ни четная ни нечетная, $%y(-1)\ne y(1)$%. 3) Функция не является периодической (уравнение $%y=0$% имеет единственное решение $%x=-2$%). 3) $%y^{'}=\Big((x+2)e^{\frac{1}{x}} \Big)=e^{\frac{1}{x}}-e^{\frac{1}{x}}\frac{x+2}{x^2}=e^{\frac{1}{x}}\frac{x^2-x-2}{x^2}.$% 4) $%y^{'}=0\Leftrightarrow[x=-1;x=2].$% 5) $%y^{'}<0,x\in(-1;0)\cup(0;2)-$% на каждом из этих промежутков функция убывает; $%y^{'}>0,x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty) - $% на каждом из этих промежутков функция возрастает. 6) Из п. 5) следует, что в точке $%-1$% функция имеет максимум, равный $%y(-1)=\frac{1}{e}$%; в точке $%2 -$% минимум $%y(2)=4e^{\frac{1}{2}}.$% 7) $$\lim_{x\rightarrow0-0}(x+2)e^{\frac{1}{x}}=0;\lim_{x\rightarrow0+0}(x+2)e^{\frac{1}{x}}=+\infty.$$ 8) Наличие наклонной асимптоты $$k=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{y(x)}{x}=1; b=\lim_{x\rightarrow\infty}(y(x)-kx)=\lim_{x\rightarrow\infty}((x+2)e^{\frac{1}{x}}-x)=\lim_{x\rightarrow\infty}((e^{\frac{1}{x}}-1)x+2e^{\frac{1}{x}})=3;$$$$y=x+3 - $$наклонная асимптота. 9) $$\lim_{x \rightarrow -\infty}y(x)=-\infty;\lim_{x \rightarrow +\infty}y(x)=+\infty.$$ 10) Используя полученные результаты, построим график. отвечен 8 Янв '13 18:06 Anatoliy Функция ни четная, ни нечетная,потому что $%|y(-1)|\ne |y(1)|$%.
(8 Янв '13 18:35)
ASailyan
|
Экспонента после каждого дифференцирования должна оставаться множителем (выносится за скобки), так что ни на знак, ни на обращение в 0 она не влияет. отвечен 8 Янв '13 17:15 DocentI Я так понимаю, получается точка разрыва второго рода здесь, но точка перегиба совпадает с ней. Что в таком случае?
(8 Янв '13 17:21)
Валентин
Справа и слева от 0 поведение разное. Справа - функция стремится в бесконечности, а слева - к 0
(8 Янв '13 17:21)
DocentI
Какой же перегиб, если разрыв!
(8 Янв '13 17:25)
DocentI
По графику, который построил маткад, видно, что функция сначала возрастает (от минус бесконечности до нуля), а потом убывает до какой-то точки (до какой?), а потом опять возрастает.
(8 Янв '13 17:26)
Валентин
Функция отрицательна при $%x < -2$%, между -2 и 0 у нее "горб", а справа от 0 она убывает от $%+\infty $% до минимума, потом снова возрастает. У функции есть асимптота $%x+3$%, она в обоих "концах" оси $%Ox$%
(8 Янв '13 17:41)
DocentI
http://i.imgur.com/Id6V3.jpg - Вот так должен выглядеть график?
(8 Янв '13 17:45)
Валентин
Ну да. В нуле слева "горизонтальный" участок.
(8 Янв '13 17:54)
DocentI
А до какого минимума она убывает?
(8 Янв '13 17:58)
Валентин
показано 5 из 8
показать еще 3
|
У Вас проблема с производной (не можете взять) или с интерпретацией?
После взятия производной остается экспонента, поэтому не понятно, как приравнять к нулю полученную производную, чтобы найти точки перегиба и выпуклости.
MathCad строит довольно странный график этой функции.
Ещё непонятно исследование особой точки 0.