При каких значениях а уравнение $$\sqrt{5x^2+16ax+4}=x^2+4ax+2$$ Имеет ровно три различных корня? Найдите все возможные значения а.

Ответ: $$-0,75≤а<-0,25; -0,25<а<0,25; 0,25<а≤0,75$$ Задача из ЕГЭ, 18 номер. Буду благодарен за любую помощь. Не знаю даже, с чего и начать.

задан 8 Мар '17 20:56

10|600 символов нужно символов осталось
3

Уравнение вида $%\sqrt{A}=B$% равносильно системе из двух условий: $%A=B^2$% и $%B\ge0$%. Заметим, что учитывать отдельно неравенство для подкоренного выражения нет необходимости: оно равно квадрату, и потому неотрицательно.

Уравнение $%5x^2+16ax+4=(x^2+4ax+2)^2$% после упрощений приводит к равенству $%x^2(x+4a+1)(x+4a-1)=0$%. Если система имеет три корня, то это $%x=0$%, $%x=-4a+1$%, $%x=-4a-1$%, и они попарно различны, откуда $%a\ne\pm\frac14$%.

Осталось учесть условие $%x^2+4ax+2\ge0$%. При $%x=0$% оно выполнено. Подставляя $%x=-4a+1$%, имеем $%(x+4a)x+2=x+2=-4a+3\ge0$%, откуда $%a\le\frac34$%. Подстановка $%x=-4a-1$% даёт $%(x+4a)x+2=-x+2=4a+3\ge0$%, откуда $%a\ge-\frac34$%.

Итого $%a\in[-\frac34;-\frac14)\cup(-\frac14;\frac14)\cup(\frac14;\frac34]$%.

ссылка

отвечен 8 Мар '17 22:08

Большое спасибо!

(9 Мар '17 0:28) qMath
10|600 символов нужно символов осталось
5

alt text

ссылка

отвечен 8 Мар '17 22:00

Уравнение вида sqrt(A)=B равносильно одновременному выполнению условий: A =B^2 и B>=0.

(8 Мар '17 22:03) guru

Забыл написать: корень x=0 тоже нужно подставить в неравенство (2). Но там все очевидно: 2>=0.

(8 Мар '17 22:10) guru

Большое спасибо, поставил палец вверх. Особенно понравился рукописный стиль :)

(9 Мар '17 0:31) qMath
10|600 символов нужно символов осталось
-1

Графический способ, очевидно, самый простой здесь

ссылка

отвечен 8 Мар '17 21:53

@belix2008 А что такое графический способ?

(9 Мар '17 8:23) bot
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×600
×310
×253

задан
8 Мар '17 20:56

показан
3686 раз

обновлен
9 Мар '17 8:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru