|
а) Решить в целых неотрицательных числах уравнение $$n!+2^n+3^n=k^2$$ б) А если вместо $%k^2$% поставить $%k^m$%, где $%m$% - целое, большее 1? задан 12 Мар '17 18:25 
Аллочка Шакед |
|
а). Пусть $%n=2l+1$%, тогда уравнение примет вид $$(2l+1)!+2\cdot 4^l+3\cdot 9^l=k^2.$$ Рассмотрим остатки от деления на 3: для $%l\geqslant 1$% левая часть имеет остаток $%2$%, а квадрат числа может иметь остатки 0 или 1. Если $%l=0$%, то решений в целых числах, очевидно, нет. Пусть $%n=2l$%, тогда $$(2l)!+ 4^l+9^l=k^2.$$ Рассмотрим остатки от деления на 5 для $%l\geqslant 3$%. Левая часть может иметь остатки 2 или 3, а правая - 0, 1, 4. Остается проверить случаи $%l=0,1,2$%. Решение есть только при $%l=2$%. Ответ: $%n=4, k=11$%. б) Для четных $%m$%, очевидно, годится тот же метод. Ответом будет "решений нет" для $%m>2$%. отвечен 12 Мар '17 18:41 
cartesius 1
@cartesius: для квадратов я решал таким же способом, а для больших степеней у меня сначала был план доказать отсутствие решений хотя бы для нечётных n из соображений делимости на степени 5. Но до конца даже этот случай не анализируется, к сожалению. Судя по всему, общая задача выглядит "нерешабельной".
(12 Мар '17 19:39)
falcao
1
@falcao, да, я тоже "закопалась", разбирая варианты для $%n$%. Так что для нечетных степеней $%m$% задача не получается за обозримое количество времени.
(12 Мар '17 21:07)
cartesius
@cartesius , @falcao , большое спасибо!
(13 Мар '17 12:22)
Аллочка Шакед
@cartesius: сложность задачи для m>2 (даже для m=3) я вижу в том, что у чисел в левой части разложение на простые может быть почти какое угодно. При нечётных n под контролем находится только степень 5, и про неё что-то сказать можно. Но если это 5^3, то число уже может быть кубом, если оставшаяся часть разложения такова. Но там царит полный "хаос".
(13 Мар '17 15:54)
falcao
|