а) Решить в целых неотрицательных числах уравнение $$n!+2^n+3^n=k^2$$ б) А если вместо $%k^2$% поставить $%k^m$%, где $%m$% - целое, большее 1?

задан 12 Мар '17 18:25

10|600 символов нужно символов осталось
4

а). Пусть $%n=2l+1$%, тогда уравнение примет вид $$(2l+1)!+2\cdot 4^l+3\cdot 9^l=k^2.$$

Рассмотрим остатки от деления на 3: для $%l\geqslant 1$% левая часть имеет остаток $%2$%, а квадрат числа может иметь остатки 0 или 1. Если $%l=0$%, то решений в целых числах, очевидно, нет.

Пусть $%n=2l$%, тогда $$(2l)!+ 4^l+9^l=k^2.$$ Рассмотрим остатки от деления на 5 для $%l\geqslant 3$%. Левая часть может иметь остатки 2 или 3, а правая - 0, 1, 4. Остается проверить случаи $%l=0,1,2$%. Решение есть только при $%l=2$%.

Ответ: $%n=4, k=11$%.

б) Для четных $%m$%, очевидно, годится тот же метод. Ответом будет "решений нет" для $%m>2$%.

ссылка

отвечен 12 Мар '17 18:41

изменен 12 Мар '17 18:48

1

@cartesius: для квадратов я решал таким же способом, а для больших степеней у меня сначала был план доказать отсутствие решений хотя бы для нечётных n из соображений делимости на степени 5. Но до конца даже этот случай не анализируется, к сожалению. Судя по всему, общая задача выглядит "нерешабельной".

(12 Мар '17 19:39) falcao
1

@falcao, да, я тоже "закопалась", разбирая варианты для $%n$%. Так что для нечетных степеней $%m$% задача не получается за обозримое количество времени.

(12 Мар '17 21:07) cartesius

@cartesius , @falcao , большое спасибо!

(13 Мар '17 12:22) Аллочка Шакед

@cartesius: сложность задачи для m>2 (даже для m=3) я вижу в том, что у чисел в левой части разложение на простые может быть почти какое угодно. При нечётных n под контролем находится только степень 5, и про неё что-то сказать можно. Но если это 5^3, то число уже может быть кубом, если оставшаяся часть разложения такова. Но там царит полный "хаос".

(13 Мар '17 15:54) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,212
×1,095
×338
×209
×158

задан
12 Мар '17 18:25

показан
407 раз

обновлен
13 Мар '17 15:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru