Решить уравнение в натуральных числах: $$\sqrt{n+1982^n}+\sqrt n=(\sqrt{1983}+1)^k$$

задан 12 Мар '17 19:44

изменен 12 Мар '17 19:44

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если $%n=1$%, то при $%k=1$% равенство выполнено.

Пусть $%n>1$%. Правая часть уравнения имеет вид $%A+B\sqrt{1983}$%, следовательно, один из корней левой части тоже должен быть кратен $%\sqrt{1983}$%, а второй - целое число.

Возможны два варианта: либо $%n=1983t^2$%, либо $%n=t^2$%, где $%t$% - натуральное.

Пусть $%n=t^2$%, тогда $%t^2+1982^{t^2}=1983s^2$% для некотрого $%s$%. Ясно, что $%t\not\equiv 0\mod 3$% (т.к. правая часть кратна 3). Сравнивая остатки от деления по модулю 3 обеих частей мы видим, что $%t$% - нечетное. Далее рассмотрим остатки от деления на 4. Правая часть дает остаток 3, а левая - 1. Следовательно, этот вариант невозможен.

Пусть $%n=1983t^2$%. Тогда $%1983t^2+1982^{1983t^2}$% - полный квадрат. Сравнивая остатки от деления на 3 убеждаемся, что $%t$% - четное. Пусть $%t=2^ls$%, где $%s$% - нечетное. Рассмотрим выражение $$1983\cdot 4^ls^2+2^{1983\cdot4^ls^2}\cdot 991^{1983\cdot4^ls^2}.$$

Ясно, что $%2l<1983\cdot 4^ls^2$%, поэтому полным квадратом должно являться выражение $$1983s^2+2^{1983\cdot4^ls^2-2l}\cdot 991^{1983\cdot4^ls^2}.$$

Второе слагаемое делится на 4, а первое имеет остаток 3. Следовательно, все выражение имеет остаток 3 при делении на 4, а потому не может быть полным квадратом.

Ответ: $%k=n=1$%.

ссылка

отвечен 12 Мар '17 20:36

изменен 12 Мар '17 20:55

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$(\sqrt{1983}+1)^k=a+b\sqrt{1983},a,b\in \mathbb N\Rightarrow(\sqrt{1983}-1)^k=a-b\sqrt{1983}\Rightarrow1982^k=a^2-1983b^2,$$ $$\sqrt{n+1982^n}+\sqrt n=a+b\sqrt{1983}.$$ 1) $$n+1982^n=1983b^2,n=a^2\Rightarrow a^2-1983b^2=-1982^n\ne1982^k.$$ 2) $$n+1982^n=a^2,n=1983b^2\Rightarrow a^2-1983b^2=1982^n\Rightarrow k=n.$$ $$n=1\Rightarrow k=1.$$ $$n\ge2\Rightarrow(\sqrt{1983}+1)^n>(\sqrt{1983})^n+n\cdot(\sqrt{1983})^{n-1}>\sqrt{n+1982^n}+\sqrt n.$$ В условии задачи пару чисел $%1982,1983$% можно заменить на любую пару соседних натуральных чисел $%m,m+1$%.

ссылка

отвечен 12 Мар '17 20:57

изменен 12 Мар '17 21:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×917
×168

задан
12 Мар '17 19:44

показан
645 раз

обновлен
12 Мар '17 21:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru