задан 15 Мар '17 4:27

изменен 17 Мар '17 0:56

1

Замечание по форме: нельзя "доказать задачу". Её можно только решить. Доказать можно утверждение, теорему, лемму, но не задачу.

"Мораль": надо всегда говорить как можно точнее, называя вещи своими именами. Выше Вы как-то спрашивали, что самое важное для занятий математикой. Вот это, по моему мнению, самое важное: учиться говорить правильно. Если этого принципа не придерживаться со всей строгостью, то в мышлении всё будет путаться. Точности уже не будет, всё "поплывёт".

(16 Мар '17 4:42) falcao

@falcao, я постараюсь это уяснить,спасибо!

(16 Мар '17 16:46) Романенко

Вроде как можно просто применить теорему о вычетах...

(17 Мар '17 16:26) all_exist

@falcao, @all_exist, почему вычеты там же сказано в приложении применить формулу Коши?

(25 Мар '17 18:04) Романенко

@Романенко: я думаю, имелось в виду, что можно применить теорему о вычетах, и из неё следует в том числе и интегральная формула Коши.

P.S. У меня ещё в начале возник вопрос, с какой целью Вы стали решать именно это упражнение. Дело в том, что оно выглядит вещью совершенно "периферийной", то есть это обобщение чего-то более основного. Сам по себе этот факт большой ценности не имеет, если он не нужен в непосредственном приложении. У Вас это где-то должно использоваться, или это "прорешивание" задач?

(25 Мар '17 19:19) falcao

@falcao, я просто прорешиваю,но на практике мы решали интегралы спомощью интегральной формы Коши.А в каких приложениях это можно использовать?и почему это задание не имеет ценности и в сравнении с чем?

(25 Мар '17 22:25) Романенко

@Романенко: я не знаю, где это можно применить (хотя последнее ни о чём само по себе не говорит). Понятно, что когда затрагивается бесконечность, то нужна какая-то "подгонка", и это сводится к обычному случаю. Есть ещё такая "морока" как вычет в бесконечности -- с ним тоже возникают некие "хлопоты". Я вообще-то ничего не имею против чисто технических упражнений, но здесь как бы не вполне понятно, где такую формулу можно с пользой применить. Поэтому не было даже желания вникать как следует.

(26 Мар '17 4:22) falcao

@falcao,спасибо,а как вы научились $%ДОКАЗЫВАТЬ$% теоремы ,определения и т.д.?это приходит с опытом,надо просто больше работать с учебником?

(26 Мар '17 11:31) Романенко

@Романенко: вот яркий пример неудачного вопроса. По той причине, что из ответа на него Вы не узнаете ничего полезного. В ответ будет сказано что-то типа "кладите больше заварки" (с) на манер известного анекдота :) Никаких "чудесных" советов общего характера дано быть не может, и это как бы заранее ясно.

(26 Мар '17 15:43) falcao
1

@falcao, ясно,т.е. я в своем вопросе уже сам себе ответил!(все банально просто получается!)

(26 Мар '17 16:14) Романенко

@falcao, есть вариант решения: http://prnt.sc/eqav0o
Помогите пожалуйста понять!

(30 Мар '17 16:06) Романенко

@falcao, почему интеграл равен 0 ?(оказалось, что это как-то связано с матфизикой,по-этому для меня это нужное задание!)

(30 Мар '17 17:26) Романенко

@Романенко: с матфизикой это само по себе не связано, то есть связано лишь в одну сторону. В том смысле, что у физиков такие интегралы где-то могут возникать, и в каких-то книгах на эту тему встречаются похожие примеры.

Я вообще-то плохой толкователь чужих текстов, поэтому вряд ли могу добавить что-то ценное. Наверное, надо уточнять у того, кто написал текст. Насколько я понял, там рассматриваются полярные координаты и предельный переход. Но вдумываться в это дело глубже мне не хочется.

(30 Мар '17 18:37) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
2

@Романенко, есть вариант решения: http://prnt.sc/eqav0o - Ну, там на скорую руку предложили решение соответствующее "указаниям к задаче"... Как уже отмечено @falcao, там рассматриваются полярные координаты - это просто параметризация окружности $%C_R$%, которая является контуром интегрирования во втором слагаемом... и предельный переход - причём этот переход совсем не обоснован (то есть не сказано, почему его можно применить)... просто написан ответ...

Предложу другой вариант решения... выполним инверсию комплексной плоскости относительно единичной окружности $$ z\cdot w = 1 $$ При этом область $%D$% перейдёт в ограниченную область $%\Omega$%... граница $%\partial D$% перейдёт в границу $%\partial \Omega$%... $%z=\infty$% перейдёт в $%w=0$% ...

При таком преобразовании интеграл перепишется в виде $$ \int\limits_{\partial D} \frac{f(\xi)}{\xi-z}\cdot d\xi = \Big\{\xi\cdot \eta=1,\;\;f(\xi)=F(\eta)\Big\} = \int\limits_{\partial \Omega} \frac{F(\eta)}{\frac{1}{\eta}-\frac{1}{w}}\cdot\frac{d\eta}{-\eta^2} = $$ $$ = \int\limits_{\partial \Omega} \frac{w\cdot F(\eta)}{(\eta-w)\cdot\eta}\cdot d\eta = \int\limits_{\partial \Omega} \left(\frac{F(\eta)}{\eta-w} - \frac{F(\eta)}{\eta}\right)\cdot d\eta = $$ $$ = \int\limits_{\partial \Omega} \frac{F(\eta)}{\eta-w}\cdot d\eta - \int\limits_{\partial \Omega} \frac{F(\eta)}{\eta-0}\cdot d\eta $$

Дальше осталось воспользоваться формулой Коши и получить, что

$$ \int\limits_{\partial \Omega} \frac{F(\eta)}{\eta-w}\cdot d\eta = \begin{cases} F(w), & w \in \Omega \\ 0, & w \not\in \Omega \end{cases} = \begin{cases} f(z), & z \in D \\ 0, & z \not\in D \end{cases} $$

$$ \int\limits_{\partial \Omega} \frac{F(\eta)}{\eta-0}\cdot d\eta = F(0) = f(\infty) $$

ссылка

отвечен 30 Мар '17 22:29

@all_exist,спасибо,а "инверсия комплексной плоскости относительно единичной окружности" -- это конформное отображение нужно значит делать?

(1 Апр '17 14:31) Романенко

@Романенко: инверсия задаётся формулой w=1/z. Это конформное преобразование. Но делать тут ничего не надо, потому что @all_exist уже всё сделал :)

(1 Апр '17 15:13) falcao

@falcao, хорошо,я просто пытаюсь теперь все понять,что написано :) А и еще, получается сфера Римана это тоже инверсия комплексной плоскости в окружность?

(1 Апр '17 15:21) Романенко

@Романенко: если Вы пытаетесь понять, то надо читать построчно, и всё не до конца понятное уточнять у автора решения. При этом полезно не продуцировать никаких своих собственных мыслей, потому что они мешают пониманию чужих. Вот зачем Вам тут понадобилась сфера Римана, и с какой вдруг стати она плоскость (двумерную) перевела в окружность (одномерную)? Так не бывает в принципе. Не говоря о том, что инверсия -- это преобразование плоскости или сферы, но никак не сама сфера.

(1 Апр '17 15:39) falcao

@falcao,спасибо за совет!Постараюсь придерживаться вашего совета!....Я перепутал (просто в како-то момент подумал,что плоскость можно инвертировать в сферу(плохо ознакомился с определением(т.к. только сегодня о нем узнал)))

(1 Апр '17 17:02) Романенко

@falcao, первое же выражение--это интеграл по $%dz$% а не по $%d\xi $% по условию? если да,то дальше все равно все правильно?

(1 Апр '17 17:40) Романенко

@Романенко, тут как написано, так и есть... это в условии задачи опечатка -должно стоять $%d\zeta$%...

(1 Апр '17 17:47) all_exist

@all_exist,ясно,спасибо!что такое $%\xi*\eta=1$% ? тоже инверсия?и что такое $%F( \eta )$% ?

(1 Апр '17 17:54) Романенко

что такое $%\xi\eta=1$% - замена переменной в интеграле... но она естественно является инверсией...

и что такое $%F(\eta)$%? - просто переобозначение функции...

(1 Апр '17 17:59) all_exist

@all_exist, а зачем именно на два интеграла рабивать надо было?

(1 Апр '17 18:04) Романенко

@Романенко: если в знаменателе дроби находится произведение, то во многих случаях можно удачно представить её в виде суммы или разности. Например: 1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1). В более простом виде дроби бывает удобнее суммировать, интегрировать и т.п. Именно для этого был применён соответствующий приём. Но я замечу, что при первом чтении такого рода вопросами задаваться не надо. Ваша задача -- понять все выкладки, а вопрос, почему применены именно такие приёмы -- это уже вещь более высокого порядка. Если Вы видите, что само тождество верно (а это легко проверяется), то спокойно читаете дальше.

(1 Апр '17 18:30) falcao

@falcao, спасибо,но ведь тождество показывается тремя параллельными палочками?(тождество Вы имеете ввиду,что из одного выражение вытекает другое путем тривиальных преобразований?)

(1 Апр '17 18:59) Романенко

@Романенко: есть много тождеств типа a^2-b^2=(a-b)(a+b), где никаких трёх палочек не ставится (сам по себе этот значок есть "школярство", то есть он иногда употребляется на начальных стадиях обучения, чтобы не путали одно с другим). В математике мы тождества применяем в конкретной ситуации для конкретных чисел или функций. И тогда обычный знак равенства отражает суть дела. Я к тому, что когда Вы видите у @all_exist равенство типа w/((u-w)u) = 1/(u-w) - 1/u, то Ваша задача как читателя -- проверить его справа налево, приводя дроби к общему знаменателю. Почему так сделали -- можно не думать.

(1 Апр '17 19:14) falcao

@falcao, а, что вы подразумеваете по выкладками? почему предпоследний интеграл проверяется на два случая:F(w) и 0? а последний почему равен F(0) ?

(1 Апр '17 19:48) Романенко

@Романенко: первый вопрос я оставлю без внимания, ибо он нелеп. Я употребил обычное слово русского языка. Его значение можно посмотреть в толковом словаре. См. также здесь. Что касается интегралов, то там напрямую применяется формула Коши. Удивительно, как одна задача (пусть и не самая простая) может порождать так много вопросов -- на 90% совершенно лишних.

(1 Апр '17 20:02) falcao
показано 5 из 15 показать еще 10
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,508
×3,456
×1,764
×147
×37

задан
15 Мар '17 4:27

показан
500 раз

обновлен
1 Апр '17 20:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru