|
Сколькими различными способами можно разменять купюру в 100 тугриков на купюры в 8, 9 и 10 тугриков? (не обязательно использовать купюры каждого достоинства, то есть, к примеру, 10 купюр по 10 тугриков тоже разрешается) задан 15 Мар '17 11:43 
Аллочка Шакед |
|
Это задача на подсчёт числа решений уравнения 8x+9y+10z=100 в целых неотрицательных числах. Ясно, что y чётно, то есть y=2t. Получается 4x+9t+5z=50. Далее рассматриваем случаи z=0,1,...,10, получая уравнения вида 4x+9y=N, где N принимает значения 0, 5, 10, ... , 50. Легко проверить все случаи вручную. Для примера: 4x+9y=45 имеет 2 решения: y нечётно, т разность 45-9y кратна 4. Подходят y=1 и y=5. У меня получилось общее количество 1+0+0+0+1+1+1+1+2+2+1=10 способов. См. также здесь. отвечен 15 Мар '17 12:33 
falcao 1
Проверка http://www.wolframalpha.com/input/?i=series+1%2F((1-z%5E8)(1-z%5E9)(1-z%5E10))+to+order+100 показывает, что ответ верный: коэффициент при $%z^{100}$% действительно равен 10.
(15 Мар '17 16:24)
knop
1
@knop Мне как-то даже неясно, зачем здесь проверять ответ: он слишком очевиден… :)
(15 Мар '17 16:28)
abracadabra10
@falcao , @knop , @abracadabra10 , большое спасибо!
(15 Мар '17 16:58)
Аллочка Шакед
2
@abracadabra10 - я просто привёл решение в одну строчку с использованием ИИ. ;-)
(16 Мар '17 14:37)
knop
|
|
Надо найти все такие суммы восьмёрок и девяток, которые не больше ста, не меньше нуля и делятся на десять. Легко понять, что количество девяток — чётное: либо 10, либо 8, либо 6, либо 4, либо 2, либо 0. К каждому из этих чисел надо приставить количество восьмёрок, доводящее сумму до числа, делящегося на десять. Количества восьмёрок в одном «гнезде» могут различаться на 5; соответственно, суммы могут различаться на 40. Достаточно найти одно число в каждом гнезде, чтобы извлечь все остальные. При десяти девятках ответ очевиден: ноль восьмёрок. Убирая две девятки, мы должны добавлять одну восьмёрку. В последних трёх гнёздах есть возможность добавить пять восьмёрок; и в самом последнем гнезде есть ещё возможность убрать пять восьмёрок. Всего получаем 3 X 1 + 2 X 2 + 1 X 3 = 10 случаев (количество гнёзд умножать на количество вариантов в каждом гнезде). отвечен 15 Мар '17 14:19 
abracadabra10 |