Найдите все лорановские разложения данной функции f(z) по степеням z
$$ f(z)=(13z+7)/(6z^2-z^3+7z) $$

задан 9 Янв '13 9:54

изменен 11 Янв '13 17:50

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Раскладывая знаменатель на множители, получаем $$\frac{13z+7}{6z^2-z^3+7z}=-\frac{13z+7}{z(z-7)(z+1)}={{A}\over{z}}+{{B}\over{z-7}}+{{C}\over{z+1}}$$ где неизвестные коэффициенты можно найти, составляя и решая линейную систему (либо методом частных значений). После этого, пользуясь тем, что в общем случае разложение в ряд Лорана дроби $$1\over{z-z_0}$$ при $$|z| < |z_0|$$ имеет вид $${1\over{z-z_0}}=-\frac{1}{z_0}\cdot \frac{1}{1-\frac{z}{z_0}}=-\frac{1}{z_0}\sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{z}{z_0} \right)^n=-\sum_{n=0}^{\infty}z_0^{-n-1}\cdot z^n,$$ а при $$|z| > |z_0|$$ - вид $${1\over{z-z_0}}=\frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-\frac{z_0}{z}}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\left( \frac{z_0}{z} \right)^n=\sum_{n=-\infty}^{-1}z_0^{-n-1}\cdot z^n,$$ раскладываем в ряд Лорана остальные два слагаемых. Наконец, выписываем разложения исходной функции отдельно в кольцах: $$1) \; 0 < |z| < 1; \; 2) \; 1< |z| < 7; \; 3) \; |z| > 7.$$

ссылка

отвечен 10 Янв '13 15:24

А вот интересно, неужели @tisa57 не мог то же самое в любом пособии посмотреть? Что за несамостоятельность!

(10 Янв '13 15:46) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×365

задан
9 Янв '13 9:54

показан
2493 раза

обновлен
11 Янв '13 17:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru