Вычислить сумму sum j^2*(j+2) j=1...n

задан 16 Мар '17 2:09

возьмите из учебника формулы для суммы квадратов и кубов... подставьте и упростите...

(16 Мар '17 2:13) all_exist

А здесь разве есть сумма квадратов, кубов?

(16 Мар '17 2:48) Роман7

@Роман7: общий способ такой. Рассматриваем функцию f(x), где у суммы степень 2 заменили на степень x. Вынесем x^3 за скобку. Получится сумма j^{2}x^{j-1}, а это производная от jx^j. Достаточно найти последнее, а это задача того же типа, но более простая. Выносим x за скобку, и остаётся производная от x^j. А такие выражения суммируются по формуле для геометрической прогрессии.

(16 Мар '17 3:41) falcao

А здесь разве есть сумма квадратов, кубов? - это типовые примеры на метод математической индукции...

(16 Мар '17 10:33) all_exist

falcao, не понял о "последнем". Можете пожалуйста написать это решение?

(16 Мар '17 13:01) Роман7

@Роман7: я всё описал в комментарии -- Ваша задача понять и сделать то, что написано. Удобно делать всё с конца. 1) Находим значение функции f(x)=\sum x^j по формуле суммы геометрической прогрессии. 2) Находим производную и домножаем на x. Получится xf'(x)=\sum jx^j. 3) Берём ещё одну производную и домножаем на x^3. Получаем x^3(xf'(x))'=\sum j^2x^{j+2}. 4) Подставляем x=2.

(16 Мар '17 13:39) falcao

Могу дать ответ для сверки -- он в конце должен получиться:

8(2^n(n^2-2n+3)-3)

(16 Мар '17 13:50) falcao
1

@falcao, я думаю, что надо уточнить у ТС условие... Я его воспринял как $%j^2\cdot(j+2)$%... а Вы похоже восприняли как$%j\cdot 2^{j+2}$% ...

(16 Мар '17 14:24) all_exist

@all_exist: да, я именно так прочитал условие -- как сумму j^2*2^{j+2}! Поэтому не понял Вашего замечания про индукцию. Но в условии действительно написано j^2(j+2), без степеней, а тогда это совсем тривиально.

(16 Мар '17 16:02) falcao

all_exist, да, выражение имеет вид (j^2)*(j+2). Как это без индукции решается?

(16 Мар '17 19:02) Роман7

@Роман7: а зачем решать без индукции? Для сумм кубов и квадратов формулы хорошо известны. Их надо посмотреть в книжке (или даже в Википедии) и применить.

Я-то поначалу тут степени увидел, и там есть что вычислять, а эта задача ещё проще.

Без индукции, если по правде, нельзя даже определить сумму n слагаемых, не говоря о прочем.

(16 Мар '17 19:57) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×108

задан
16 Мар '17 2:09

показан
458 раз

обновлен
16 Мар '17 19:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru