Замените числа $%a_1, a_2,\dots , a_{99}$% числами 1, 2, 3, ... , 99, используя каждое ровно один раз, чтобы сумма $$\dfrac{a_1}{a_2+a_3}+\dfrac{a_4}{a_5+a_6}+\dots +\dfrac{a_{97}}{a_{98}+a_{99}}$$ была целым числом.

Мне удалось получить только число 17, сейчас расскажу, каким образом...

Числа в знаменателях дробей заменяются парами чисел, дающих в сумме 99, а именно (1, 98), (2, 97), ..., (33, 66). В числителях тогда будут стоять числа от 34 до 65, а также число 99, таким образом наша сумма принимает значение $$\dfrac{34+35+\dots +65+99}{99}=17$$

1) Верно ли моё решение?

2) Можно ли получить целые числа, не равные 17? Если да, то какие именно, и сколько их всего?

Пожалуйста, помогите решить.

Зарангеш благодарю!

задан 16 Мар '17 16:38

1

Какие-то примеры чисел удалось построить, но пока что громоздко и искусственно. Завтра попробую это дело слегка "облагородить".

(17 Мар '17 3:48) falcao

Добавлю небольшое замечание. Я поначалу строил сложные примеры такого типа: брал несколько группировок -- скажем, пары с суммой 150 и с суммой 100. Там как-то не очень получалось из-за (не)делимости. Потом стал брать три группы: часть пар с суммой 150, часть с суммой 100, часть с суммой 50. Количество пар в группах можно менять. При таком подходе значений можно произвести на свет довольно много. Я пробовал делать ответ как можно больше, и там удавалось достичь чуть ли не 96, но примеры громоздкие, и они до конца не были проверены. Это я к тому, что способов построения достаточно много.

(17 Мар '17 20:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Вариантов здесь довольно много. Предложу такой, где сумма получается достаточно большой.

В первом слагаемом берём $%\frac{99}{1+2}=33$%. Остаются числа от $%3$% до $%98$%. Из них можно сформировать $%48$% пар $%3+98=4+97=\cdots=101$% с одинаковым значением суммы, из которых мы берём какие-то $%32$% (например, первые из перечисленных). Сумма остальных чисел в количестве $%32$% штук равна $%101\cdot16$%. Складывая дроби, имеем сумму, равную $%\frac{35+\cdots+66}{101}=16$%. Вместе с первым слагаемым общая сумма составит $%49$%.

ссылка

отвечен 17 Мар '17 9:38

@falcao , большое спасибо!

(17 Мар '17 11:03) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
2

На самом деле очень нетрудно "исправлять" часть исходного решения, чтобы изменять сумму. Например, это можно сделать так. В исходном решении есть слагаемые с числителями $%49$% и $%50$%. Без ограничения общности можно считать, что знаменатели у них равны $%a+(99-a)$% и $%(18-a)+(81+a)$% соответственно, где $%a$% - число от 1 до 17: $$\frac{49}{a+(99-a)}+\frac{50}{(18-a)+(81+a)}=\frac{49+50}{99}=1$$ Теперь заменим их на $$\frac{49}{a+(18-a)}+\frac{50}{(99-a)+(81+a)}=\frac{49}{18}+\frac{50}{180}=\frac{54}{18}=3.$$ Тем самым сумма увеличилась на 2 и стала равной 19. Вероятно, если поискать другие пары числителей, делающие возможными подобные замены, то можно будет получать и другие суммы.

ссылка

отвечен 17 Мар '17 15:32

2

А, ну вот еще. Любые парные числители (с суммой 99) с фиксированными знаменателями (7+92) и (11+88) преобразуются в пару дробей 92/(7+11) + 88/99, сумма которых равна 6.

(17 Мар '17 15:42) knop

@knop , большое спасибо!

(18 Мар '17 11:57) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,091
×1,075
×337
×209
×146

задан
16 Мар '17 16:38

показан
597 раз

обновлен
18 Мар '17 11:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru