Помогите пожалуйста с задачей. Прочитала все, что известно про вневписанные окружности, идей никаких( Пусть О1 - центр вписанной окружности треугольника АВС, О2 - центр вневписанной окружности этого треугольника, касающийся стороны ВС. Докажите, что О1М = О2М, где М - точка пересечения отрезка О1О2 и описанной окружности треугольника АВС. Найдите О1О2, если ВМ = 5

задан 19 Мар '17 21:14

10|600 символов нужно символов осталось
0

Задача тематически близка к следующей лемме, и результат задачи из неё легко выводится. Там есть и доказательство, но я предложу рассуждение, которое заодно устанавливает и справедливость леммы. Оно достаточно короткое.

Изобразим на рисунке всё кроме описанной окружности, чтобы она не мешала. Через $%K$% обозначим середину отрезка $%O_1O_2$%. Далее будет показано, что $%K=M$%, откуда всё будет следовать.

Очевидно, что биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны. Следовательно, углы $%O_1BO_2$% и $%O_1CO_2$% прямые. Середина общей гипотенузы двух прямоугольных треугольников равноудалена от их вершин: $%KO_1=KO_2=KB=KC$%. Внешний угол $%BO_1O_2$% треугольника $%ABO_1$% равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, а это $%\frac{\alpha+\beta}2$% в стандартных обозначениях величин углов. Угол $%O_1BK$% такой же по величине из равнобедренного треугольника. Поэтому на угол при вершине, то есть на $%AKB$%, приходится $%\pi-(\alpha+\beta)=\gamma$%. Таким образом, углы $%AKB$% и $%ACB$% равны. Они лежат в одной и той же полуплоскости с границей $%AB$%, поэтому описанная окружность проходит через обе эти точки. Поэтому $%K$% лежит на описанной окружности, то есть совпадает с $%M$%.

Из сказанного ясно, что $%O_1O_2=2BM=10$%.

ссылка

отвечен 19 Мар '17 22:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,695
×300

задан
19 Мар '17 21:14

показан
950 раз

обновлен
19 Мар '17 22:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru