|
Прошу помочь в двукратном интегрировании следующего примера. Желательно, при возможности, описать все детально, так как данный пример для меня сложен и хотелось бы его понять более детально. Заранее спасибо за помощь. $%\frac{{{d^2}{y_0}(t)}}{{d{t^2}}} + \omega _0^2{y_0}(t) = {c_0}$% задан 20 Мар '17 16:30 
telcom
показано 5 из 12
показать еще 7
|
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
20 Мар '17 16:30
показан
658 раз
обновлен
20 Мар '17 22:18
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
На сколько мне известно решение должно получится таким $%{y_0}(t) = {a_0} + a{c_0}\cos \left( {{\omega _0}t} \right) + a{s_0}\sin \left( {{\omega _0}t} \right),\,\,\,{a_0} = {c_0}/\omega _0^2$%.
Это обычное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Теория этого дела изложена в любом учебнике. Наберите ключевые слова в поиске -- получите кучу ссылок. И тут не просто двукратное интегрирование, а свой отдельный метод (нахождение характеристических корней и т.д.). Среди прочих уравнений этого вида, данное выделяется как совсем простое.
@falcao, мне не понятно какие будут корни у характеристического уравнения. Дело в том, что я скорее всего смогу решить подобный пример, когда постоянные коэффициенты будут в виде цифр, а тут все буквенно и мне не понятно как составить характеристическое уравнение, как найти его корни и т.д.
@telcom: замените обозначения. В "человеческом" виде однородное уравнение будет такое: y''+\omega^2y=0, где $%\omega > 0$%. Характеристическое уравнение имеет вид $%\lambda^2+\omega^2=0$%. Его корни $%\lambda=\pm\omega i$%. Базисные функции: $%e^{i\omega}$% и $%e^{-i\omega}$%. Заменяем их на полусумму и полуразность, что даст базис $%\cos\omega t$%, $%\sin\omega t$%. Это всё разобрано в учебниках очень подробно. Посмотрите любой пример с мнимыми корнями характеристического уравнения.
Константа в виде частного решения неоднородного уравнения находится подбором.
@falcao, большое спасибо. Надеюсь ответ сойдется с тем, что имею я, так как это со статьи и мне очень нужно в этом разобраться. Мне только не совсем понятно, как заменить на полусумму и на полуразность?
@telcom: если Вы прочитаете в учебнике две-три страницы (где мнимые корни), то вопросы сами собой отпадут. Мне приходится повторять то, что уже много раз изложено в книгах. Ответ можно было бы записать в виде линейной комбинации экспонент, но это не так удобно. Если все функции раскладываются по u,v, то они раскладываются по u+v, u-v -- это очевидный арифметический факт (u равно полусумме, v равно полуразности). После этого экспоненты превратятся в синус и косинус в силу тождества exp(iф)=cos ф+i sin ф. Это всё стандартные вещи, а Ваше уравнение подробно разобрано в литературе.
@falcao, мне все-таки придется так же осуществить двукратное интегрирование, так как мне нужно получить ответ еще в виде $%Y(t) = {C_1}{X_1}(t) + {C_2}{X_2}(t) + {C_3}{X_3}(t)$%, где $%\begin{gathered} Y(t) = {y_0}(t) - \left\langle {...} \right\rangle , \hfill \ {X_1}(t) = \int\limits_{{t_1}}^t {\left( {t - u} \right)} {y_0}(u)du - \left\langle {...} \right\rangle ,\,\,{C_1} = - \omega _0^2, \hfill \ {X_2}(t) = {t^2} - \left\langle {...} \right\rangle ,\,\,{X_3}(t) = t - \left\langle {...} \right\rangle . \hfill \ \end{gathered} $% На этот счет есть какие-либо мысли?
@telcom: то уравнение, которое Вы написали в тексте вопроса, решается по простой схеме. В ответе из первого комментария всё верно. Если помимо этого надо осуществить что-то ещё, то надо поставить новую задачу. Что являют собой формулы с X_1, Y и т.д., я не понимаю. Откуда они взялись, что описывают, зачем двойное интегрирование, что там под многоточием -- это для меня загадка.
@falcao, тут все это довольно долго расписывать, если интересно могу прислать статью на почту. В настоящий момент нужно два раза проинтегрировать заданную функцию.
@telcom: а зачем что-то присылать на почту? Почему не достаточно обсуждения на форуме? Если Вы хотите ответа на вопрос, то надо поставить ту дополнительную задачу, которую Вы имеете в виду. Поскольку я не знаю её условия, то не могу ничего сказать о том, надо ли что-то дважды интегрировать. Моё замечание касалось другого: если уравнение имеет вид y''=f(t), где в правой части находится известная нам функция, то мы интегрируем один раз, находим y'. Потом интегрируем второй раз, и находим y. Для уравнений типа y''=-y этот способ неприменим.
@falcao, есть статья, в этой статье говорится, что для получение определенных результатов, необходимо привести функцию к определенному виду, а приводится она с помощью двукратного интегрирования, именно поэтому я и хочу его осуществить.
@telcom: об этом надо было сказать с самого начала. Дело в том, что просто решить такое уравнение -- задача стандартная, и она решается по учебнику. Приведение к какому-то "хитрому" виду не может быть осуществлено из общих соображений, не зная, что именно требуется, потому что этот вид может быть каким угодно. Если хотите, поставьте задачу целиком, и тогда будет видно, при помощи каких средств надо это дело осуществлять. Судя по всему, в статье сам процесс решения уравнения считался общеизвестным.