При каких значениях параметра a уравнение $%\mid x^2-4x-5\mid- \space3a=\mid x-a\mid - 1$% имеет ровно 3 корня.

задан 21 Мар '17 18:45

10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

alt text

Можно еще так

ссылка

отвечен 21 Мар '17 22:51

10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь можно предложить графический способ. График функции $%y=|x^2-4x-5|$% нарисовать легко. Далее сравниваем его с графиками семейства функций $%y=|x-a|+3a-1$%. Это сдвиги обычного графика модуля, то есть $%y=|x|$%, в вершину $%(a,3a-1)$% вместо начала координат.

Заметим, что график модуля квадратичной функции делит плоскость на две части: верхнюю и нижнюю. График модуля состоит из двух лучей, оба из которых на бесконечности находятся в нижней части. Если второй график пересекает кривую, то во всех случаях, кроме особо оговариваемых ниже, он вступает в другую область. Поскольку в итоге второй график возвращается в ту же область, где он был, число точек пересечения графиков в общем положении чётно.

Теперь уточним, какие особые случаи надо исследовать. Это случаи касания графиков, случаи прохождения второго графика через точки "излома" кривой, а также случай, когда вершина второго графика лежит на первом. Можно то же самое, что и выше, обосновать так: рассмотрим разность двух функций. Она положительна на бесконечности. Поэтому число точек пересечения с осью $%Ox$% чётно, за исключением тех случаев, когда имеет место касание оси, или случай отсутствия производной в точке. Значит, достаточно проверить случаи $%x=-1$%, $%x=5$% (корни трёхчлена), $%x=a$%, а также случаи касания. Для них производная трёхчлена равна $%\pm1$%, откуда $%2x-4=\pm1$%, то есть $%x=\frac32$% или $%x=\frac52$%.

Случай корня $%x=-1$% даёт $%a=0$%. Корней при этом ровно три, что видно по графикам.

Случай $%x=5$% даёт $%a=-2$%. Корень при этом всего один.

Случай касания в точке $%x=\frac32$% невозможен, так как параболы будет касаться не тот луч. При $%x=\frac52$% получается касание прямой $%y=4a-1-x$% в точке с ординатой $%y=\frac{35}4$%, и это имеет место при $%a=\frac{49}{16}$%. Корней будет ровно три.

Случай $%x=a$% ведёт к уравнению $%5+4a-a^2=3a-1$%. Корнями будут $%a=-2$% (уже рассмотрено), и $%a=3$%. Но в последнем случае корней будут четыре, что легко увидеть из сравнения с предыдущим положением графика для $%a=\frac{49}{16}$%.

Итого два значения: $%a=0$% и $%a=\frac{49}{16}$%.

ссылка

отвечен 21 Мар '17 20:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×493
×461
×296

задан
21 Мар '17 18:45

показан
406 раз

обновлен
21 Мар '17 22:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru