Рассмотрим отображение $%\mathbb{P}^1({\mathbb{C}}) \rightarrow \mathbb{P}^2({\mathbb{C}})$% $$[a:b]\mapsto [a^2:ab:b^2]$$ Доказать, что это биекция между $%\mathbb{P}^1({\mathbb{C}})$% и множеством нулей $%xz-y^2$%

Рассмотрим случай $%x>0, z>0$%.

  1. $%y>0$%
  2. $%y<0$%

1.1 $%\sqrt x \sqrt z=y$% в этом случае точка $%[x:y:z]$% лежит в образе т.к. приходит из $%[\sqrt x : \sqrt z]$%

1.2 $%-\sqrt x\cdot - \sqrt z=y$% в этом случае точка $%[x:y:z]$% лежит в образе т.к. приходит из $%[-\sqrt x : -\sqrt z]$%

1.3 $%-\sqrt x\cdot \sqrt z=y$% - не бывает

1.4 $%\sqrt x \cdot - \sqrt z=y$% - не бывает

2.1 $%\sqrt x \sqrt z=-y$% в этом случае точка $%[x:-y:z]$% лежит в образе т.к. приходит из $%[\sqrt x : \sqrt z]$%

2.2 $%-\sqrt x\cdot - \sqrt z=-y$% в этом случае точка $%[x:-y:z]$% лежит в образе т.к. приходит из $%[-\sqrt x : -\sqrt z]$%

2.3 $%-\sqrt x\cdot \sqrt z=-y$% - не бывает

2.4 $%\sqrt x \cdot - \sqrt z=-y$% - не бывает

задан 21 Мар '17 22:42

изменен 25 Мар '17 13:12

По-моему, тут прямая арифметическая проверка действует. Она несложная, но скучная. То есть надо перебирать случаи, менять знаки чисел в случае необходимости, и так далее. Я было начал писать ответ, но понял, что коротко и элегантно не получится, поэтому бросил.

(22 Мар '17 0:30) falcao

А как идейно надо действовать? Я понимаю, что образ содержится в этом множестве нулей. Надо доказать, что множество нулей xz-y^2 содержится в образе. Как это делать?

(22 Мар '17 19:07) cherepaha

@cherepaha: рассмотрим "случай общего положения". Пусть xz=y^2, нулей нет. Числа x и z одного знака. Считаем их положительными, извлекаем корни. В качестве a, b годятся значения +-sqrt(x) и +-sqrt(z) соответственно при любом выборе знаков: они дают x=a^2, z=b^2. При этом y^2=(ab)^2, то есть y=+-ab. Число y задано, и его знак тоже. Если y>0, то годятся два корня. Если y<0, то у второго корня меняем знак.

Для примера: числа x=-16, y=12, z=-9 удовлетворяют уравнению. Тройка пропорциональна x=16, y=-12, z=9. Полагаем a=4, b=-3. Ничего более глубокого здесь нет.

(22 Мар '17 19:50) falcao

@falcao: не могли бы Вы взглянуть, правильно ли я разобрал "случай общего положения"?

(22 Мар '17 21:17) cherepaha

@cherepaha: ой, нет! Для меня это как проверка школьных тетрадок, то есть "кошмарный сон"! Я в лучшем случае могу подсказать на уровне "как делать". Упражнения такого типа лично мне совершенно не нравятся, то есть я из них не получаю для себя ничего нового. Хотя даже из решений примеров ЕГЭ типа с параметром почти всегда что-то полезное извлекаю. А прямой разбор случаев "равно нулю, не равно нулю" -- это "тоска зелёная".

(23 Мар '17 15:32) falcao

@falcao: ну, я не имел в виду проверку на ошибки, скорее имел в виду проверку правильного понимания того, что Вы сказали. Но давайте тогда задам конкретный вопрос. Пусть [x:y:z] лежит в множестве нулей и пусть x,z<0 (все над C), y<0. Надо найти прообраз [x:y:z]. Тогда имеем 4 уравнения $%i^2(\pm\sqrt{x_0})(\pm\sqrt{z_0})=-y$%, где $%x_0=-x, z_0=-z$%. Например, в случае $%-(\sqrt{x_0})(-\sqrt{z_0})=-y$% какой будет прообраз у [x:y:z]?

(25 Мар '17 13:10) cherepaha

@cherepaha: я только сейчас заметил этот комментарий. По его поводу могу заметить только одно: неравенства над полем С -- это вещь, не имеющая смысла.

(25 Мар '17 20:17) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

А если так:

Очевидно, что образ содержится в $%Z(xz-y^2)$%. Покажем, что $%Z(xz-y^2)$%. содержится в образе. Пусть $%[x:y:z]\in Z(xz-y^2)\subset\mathbb{P}^3$%. Покажем, что $%[x:y:z]$% лежит в образе.

Случай 1: $% x \ne 0 $%. Тогда $% [x:y:z] $% лежит в образе, поскольку $%[x:y] \mapsto [x^2:xy:y^2]=[x^2:xy:xz]=[x:y:z]. $%

Случай 2: $% x =0 $%. Тогда $%y=0$%. Тогда $%z\ne 0$%. В этом случае $% [x:y:z] $% лежит в образе, поскольку $%[y:z]\mapsto [y^2:yz:z^2]=[0:0:z^2]=[0:0:z]$%.

ссылка

отвечен 25 Мар '17 18:43

@cherepaha: конечно, такое рассуждение верно.

(25 Мар '17 19:02) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,081
×2,649

задан
21 Мар '17 22:42

показан
501 раз

обновлен
25 Мар '17 20:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru