x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z-10=0. Нужно найти экстремальные значения заданной неявно функции z от переменных x и y. Задача простая, просто меня не было на занятии к сожалению, образец есть, тут какое-то уравнение связи вроде как надо приравнивать к нулю. Помогите пожалуйста.

задан 22 Мар '17 18:27

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь вообще-то уравнение простое: можно выделить полные квадраты и привести его к виду $%(x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=16$%. Это обычная сфера, поэтому у неё можно найти верхнюю и нижнюю точки. Это будут $%(1;-1;6)$% и $%(1;-1;-2)$%. При этом все промежуточные значения $%z$% принимает.

Если подходить строго, то вообще-то "неявная функция" задаётся только локально. Ставить вопрос о её экстремумах можно лишь на заданной области. Но из сказанного понятно, что здесь из "функции" (многозначной) можно выделить области, на которых она принимает и значение 6, и значение 2 по отдельности, но не оба сразу.

При помощи производных можно рассуждать примерно так. Если в точке экстремум, то обе частные производные равны нулю. Продифференцируем уравнение по обеим переменным, сразу сокращая на 2 для удобства. Это даст $%x+zz_x'-1-2z_x'=0$% и $%y+zz_y'+1-2z_y'=0$%. Из равенства нулю частных производных имеем $%x=1$% и $%y=-1$% (то есть то же, что и выше). Подстановка в исходное уравнение даёт $%(z-2)^2=16$%, откуда находим максимальное и минимальное значения.

То, что в общем случае надо ещё проверять достаточные условия со вторыми производными, здесь явно делать не надо.

ссылка

отвечен 22 Мар '17 19:36

изменен 22 Мар '17 23:59

1

@falcao Да, спасибо большое. Только опечатка небольшая, у нижней точки координата по z "-2".

(22 Мар '17 21:13) Стас001

@Стас001: да, действительно (писал после четырёх пар лекций, уже почти засыпая :)). Сейчас подправлю.

(22 Мар '17 23:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×82

задан
22 Мар '17 18:27

показан
365 раз

обновлен
22 Мар '17 23:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru