$% (11^x/7)$% в остатке $%=4 $%

$% (11^y/7)$% в остатке $%=2 $%

найти нужно $%x$% и $%y$%

задан 22 Мар 19:48

может нужно прологорифмировать,чтобы избавиться от степени?

(22 Мар 20:04) Романенко
1

11 можно заменить на 4, если нас интересуют остатки от деления на 7. Тогда просто смотрим степени, и отслеживаем период. Начинаем с показателя 0, то есть 4^0=1, домножаем на 4 и берём остаток. Получается 1, 4, 2 (было 4*4=16, остаток от деления на 7 равен 2), 1 (было 8). Дальше можно не смотреть, так как получен период. В первом ответ x=3k+1, во втором y=3k+2, где k целое.

P.S. Писать надо словами, формулы тут не годятся. Из контекста было всё ясно, но косая черта означает частное двух чисел. Правильно так: при каких (целых неотрицательных) x число 11^x при делении на 7 даёт в остатке 4.

(22 Мар 20:13) falcao

@falcao,спасибо. Писать надо,т.к. формула не все условия показывает? и почему Вы так решили , что можно подставить 4 вместо 11?и почему начинаем перебор степеней от 0 до пока не найдем остаток 4,т.е зачем искать какой-то период?

(22 Мар 20:23) Романенко

@falcao, а можнно тогда просто было написать mod вместо черты?(это же операция деления с остатком)

(22 Мар 20:25) Романенко

@Романенко: в математике сокращение mod используется в другом смысле. Там пишут, что два числа сравнимы по такому-то модулю m. Это значит, что их разность делится на m. Например, 11 и 4 сравнимы по модулю 7. Пишут 11=4(mod 7). Из элементарных свойств сравнений (см. любой учебник по элементарной теории чисел) следует, что при сложениях и умножениях (в частности, при возведении в степень) свойство сравнимости сохраняется. Поэтому 11 можно заменить на 4.

Фразы типа 11 mod 7 = 4 подходят для языков программирования. Но здесь mod не является операцией.

У степеней чисел остатки всегда периодичны.

(23 Мар 0:26) falcao

(продолжение)

Пусть нас интересует, когда 2^x даёт остаток 3 от деления на 13. Тогда составляем такую же последовательность: 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7, 1, ... (я специально взял случай посложнее). Выписываем остатки до тех пор, пока не встретим 1. Дальше всё будет периодически повторяться с периодом 12. Отсюда следует, что x=12k+4, где k целое. Число 4 взято потому, что остаток 3 стоит на 4-м месте (нумерация мест с нуля).

Писать так, как было у Вас, нельзя, так как черта / означает частное. Она даёт дробное значение типа 121/7, а про дроби нельзя говорить об остатках.

(23 Мар 0:33) falcao

@falcao,спасибо уже яснее на много, но вот как получился ряд(а точнее,как получается каждый следующий остаток): 1,2,4,8,3,6 и т.д.?

(23 Мар 2:18) Романенко

@Романенко: у меня принцип был объяснён выше, я там специально это дело пояснял. В общем виде: пусть мы рассматриваем степени числа a, и нас интересуют остатки от деления на n. Тогда начинаем с 1, домножаем каждый раз на a, и если число больше n, то заменяем его на остаток от деления на n. В прошлом примере было a=4, n=7. Тогда ряд чисел такой: 1, 4, 16->2, 8->1, и дальше не смотрим, так как 1 повторилось. В новом примере a=2, n=13. Поэтому за 8 идёт не 16, а его остаток, то есть 3, и так далее. Эту процедуру можно осуществить для любых чисел.

(23 Мар 4:09) falcao

@falcao, спасибо!теперь могу решеать такого типа задачи....а как называется такой алгоритм построения ряда чисел(чтобы почитать теорию по этому поводу),где строится ряд чисел,из которого находится период и второе слагаемое решения уравнения?(нигде еще не нашел пока(искал в теории чисел))

(25 Мар 18:09) Романенко

@Романенко: он никак не называется. Просто рассматриваем степени числа a по модулю m, и смотрим. В учебниках по теории чисел можно найти общие факты о сравнениях, в том числе показательных и степенных. Сюда же примыкает тема первообразных корней. Можно полистать старый добрый учебник Бухштаба.

(25 Мар 18:34) falcao

@falcao, в Бухштабе все через моды определяется,как можно понять из этого как решается мой пример?

(25 Мар 22:41) Романенко

@Романенко: я Вам рассказал решение, и добавил, что если хотите глубже освоить этот материал, то читайте Бухштаба или другой учебник. Если не хотите -- не читайте.

(25 Мар 22:47) falcao

@falcao,ясно,я почитал,то есть 11 и 4 относятся к одному классу?поэтому их можно менять по свойству?

(25 Мар 23:01) Романенко

@Романенко: так и есть. Я этот про этот момент говорил выше. Если материал изучен систематически, такие вещи становятся сами собой разумеющимися. На уровне того, что 15 часов -- это 3 часа (по модулю 12).

(25 Мар 23:08) falcao

@falcao,простите ,если снова надоедаю с этим примером,но нужно еще одно свойство проверить,чтобы удостоверится,что я читаю то самой: остаток степени числа a деленный на p периодически повторяется(что Вы как раз и говорили) и период не превосходит p-1 (13-1=12) ? это тоже все из этой "оперы"?

(26 Мар 12:56) Романенко

@Романенко: да, из той же. Это утверждение называется малая теорема Ферма. Период не только не превосходит p-1, но даже является его делителем. То есть при p=13 период может принимать значения 12, 6, 4, 3, 2, 1. Всё это есть в стандартных учебниках, почему я на них и оставил ссылку.

(26 Мар 15:47) falcao
показано 5 из 16 показать еще 11
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,711
×151
×96

задан
22 Мар 19:48

показан
191 раз

обновлен
26 Мар 15:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru