Числа $%x^{2017}$% и $%x^{239}$% рациональны. Как доказать, что x рационально?

задан 22 Мар '17 22:44

делите числа... и смотрите на оставшиеся степени (пока не получите первую)...

(22 Мар '17 22:48) all_exist

Здесь можно даже не делать вычислений, если использовать то, что число 2017 простое. Тогда 2017 и 239 взаимно просты. (Вообще-то 239 тоже простое, но это число менее "замечательно", хотя для питерцев это не совсем так :)) Тогда алгоритм Евклида рано или поздно даст 1 применительно к этим числам, а это равноценно тому, что х можно рационально выразить через две данные степени.

(22 Мар '17 23:53) falcao

В качестве "бонуса": можно заметить, что числа 2017x173=348941 и 239x1460=348940 отличаются ровно на 1 (x здесь знак умножения). Обе степени рациональны, и тогда их частное тоже.

(22 Мар '17 23:57) falcao
1

Ну чтобы получить такой "бонус" придется проехаться алгоритмом Евклида туда-обратно, что очень трудозатратно или я ошибаюсь? У меня после этой процедуры получилось $%557\cdot 239-66 \cdot 2017=1$%

(23 Мар '17 0:10) abc

@abc: конечно, трудозатратно. Обычно применяют алгоритм Евклида, находят неполные частные, а потом используют цепные дроби.

Ваш пример чисел чуть отличается, но он лучше, потому что 557 и -66 меньше по модулю. Но от одного к другому можно прямо перейти, заменяя u и v на 239-u и 2017-v.

(23 Мар '17 0:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×159

задан
22 Мар '17 22:44

показан
478 раз

обновлен
23 Мар '17 0:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru