$%n$% разные положительные числа образуют арифметическую прогрессию. Известно, что среди членов этой прогрессии можно выбрать $%m$% членов которые образуют геометрическую прогрессию. Доказать,что $%n\ge2^{m-1}.$%

задан 10 Янв '13 23:58

изменен 12 Янв '13 13:25

Видимо, числа должны msnm различными? Равные числа являются одновременно и арифметической, и геометрической прогрессией.

(11 Янв '13 1:38) DocentI

Числа разные. А что значит msnm различные ?

(11 Янв '13 1:46) ASailyan

;-) Это Punto Switcher перестарался.. Я написала слово "быть" с опечаткой, а он решил, что буквы должны быть латинскими.

(11 Янв '13 1:54) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим геометрическую прогрессию $%a_i=sc^{i-1},i\in[1;m]$% и соответствующую ей арифметическую прогрессию $%b_i=s+d(i-1),i\in[1;n]$%. Пусть $%q_i$% - индексы вхождения геометрической последовательности в арифметическую, т.е. $%b_{q_i}=a_i$%. При чем: $%q_1=1$%, $%q_m=n$%. $$b_{q_i}=a_i; s+d(q_i-1)=sc^{i-1}; d=\frac{s(c-1)}{q_2-1}$$ $$s+\frac{s(c-1)}{q_2}(q_i-1)=sc^{i-1}; q_i=1+\frac{q_2(c^{i-1}-1)}{c-1}$$ Введем последовательность $%p_i=q_{i+1}-q_i,i\in[1;m-1]$%. $$p_i=q_2c^{i-1}; c=\frac{p_{i+1}}{p_i}$$ То есть, с - рациональное число. Значит, $%p_i$% можно записать в виде $%p_i=xy^{i-1}z^{m-1-i}$%, где x, y, z - натуральные числа. $$n=q_m=1+\sum_{i=1}^{m-1}p_i=1+\sum_{i=1}^{m-1}xy^{i-1}z^{m-1-i}$$ y и z не могут быть равны единице одновременно (это означало бы, что геометрическая последовательность является арифметической), значит $$n\ge1+\sum_{i=1}^{m-1}2^{i-1}$$ $$n\ge2^{m-1}$$

ссылка

отвечен 11 Янв '13 19:10

изменен 12 Янв '13 16:42

Вышло замечательно.

(11 Янв '13 19:21) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
0

Может быть и замечательно вышло, но я все таки не понимаю.Особенно первый абзац.
Давайте уточнить. Пусть $%b_1,b_2,...,b_n$% члены арифметической прогрессии а последовательность $%a_i=b_{q_{i}}, i=1,...,m$% геометрическая прогрессия, почему у вас $%a_1=b_1=s$% и почему $%q_1=1,q_m=n?$%Если не трудно, переделайте решение (у вас это быстро поучается),дело в том,что номера в прогрессии должны начинаться с единицы, а не с нуля.

ссылка

отвечен 12 Янв '13 11:01

изменен 12 Янв '13 17:09

Номера с нуля начинаются, потому что я программист. А программисты давно поняли, что так в 100 раз удобнее - все формулы упрощаются. Условие $%q_0=0, q_{m-1}=n-1$% (или $%q_1=1, q_m=n$% при индексах с единицы) означает, что первые и последние элементы прогрессии совпадают, ведь нет смысла брать больше членов арифм. прогрессии, чем нужно. s - просто обозначение для первого элемента прогрессий. Я попытаюсь переделать, но интуиция подсказывает, что это всё усложнит

(12 Янв '13 16:32) chameleon

Все ясно, спасибо.Не переделайте,я внимательно прочту еще раз (потом).

(12 Янв '13 16:58) ASailyan
1

Поздно, я уже переделал 20 минут назад :)

(12 Янв '13 17:03) chameleon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×51

задан
10 Янв '13 23:58

показан
1523 раза

обновлен
12 Янв '13 17:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru