Есть ли у собственных векторов свойства мультипликативности, например, если
$$ \begin{bmatrix} A \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C \end{bmatrix} $$ то справедливо ли что-либо подобное: $$ \vec{sobstv} \left( \begin{bmatrix} A\end{bmatrix} \right) \stackrel{?}{=} \vec{sobstv}\left( \begin{bmatrix} B \end{bmatrix} \right) \times {\vec{sobstv}\left( \begin{bmatrix} C \end{bmatrix} \right)} $$ ?

UPD

Собственно, вопрос возник вот на какой почве: есть запрограммированная функция, позволяющие найти собственные вектора (и числа) для симметричных матриц. Хотелось бы её приспособить для расчёта под произвольную матрицу. Подумалось применить LUP-преобразование, которое даёт верхнетреугольные и нижнетреугольные (симметричные, я так понимаю?) матрицы. То есть, $$ \begin{bmatrix} A \end{bmatrix} \stackrel{LUP}{\longrightarrow} \begin{bmatrix} L \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U \end{bmatrix} {\begin{bmatrix} P \end{bmatrix}}^{-1} $$, где L - нижнетреугольная, U - верхне, а P - единичная с перестановкой элементов.

задан 11 Янв '13 20:12

изменен 12 Янв '13 1:21

В данной записи - точно нет. Левая часть равенства - вектор, правая - скаляр. А вот если в правой части написать векторное произведение вместо скалярного, то надо подумать.

(11 Янв '13 20:26) chameleon

Большое подозрение, что векторное тоже не подходит. Рассмотреть хоть двумерный случай!

(11 Янв '13 20:38) DocentI

Вообще хотелось изобразить условность некую, но, действительно, надо исправить, как понимаю, глаза режет

(11 Янв '13 20:42) АлекСт
1

Кстати, дополнительный вопрос в тему: можно ли то же самое сказать про собственные значения матриц? Тут уж никаких вопросов про тип произведения не должно возникнуть.

(11 Янв '13 21:01) chameleon

Может, я неправильно понимаю термины, но почему верхнетреугольная матрица - симметричная?

(12 Янв '13 2:15) DocentI

Симметричная нижнетреугольной, видимо? В смысле, $%U_{i,j}=L_{j,i}$%. Хотя я, конечно, тоже могу понимать не правильно.

(12 Янв '13 2:38) chameleon

Вряд ли. Ведь сказано, что для симметричных матриц задача поиска собст . значений/векторов решена. Но таковые находятся для ОДНОЙ матрицы, а не для пары...

(12 Янв '13 2:43) DocentI

Вы правы, я плохо разобрался в предмете. Я поддался на прототип вышеоговоренной функции, которая принимает "укороченное" описание симметричной матрицы, по "верхнему треугольнику". Но очевидно, что эта "урезанная" форма записи не соответствует верхнетреугольной матрице, описанной так же. Короче, вопрос снимается в том виде, в котором я его задал. Большое спасибо отвечавшим!

(12 Янв '13 22:27) АлекСт
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
3

Как Вы понимаете произведение векторов? Скалярное? Но результат - число! Векторное? Вряд ли, при чем тут асимметричность. Так что - нет!

Дополнение.
Векторное произведение не подходит. Пусть у матриц B и C сонаправленные собственные вектора. Рассмотрим каждую из них как преобразование. Каждая из них, а также композиция , переводит этот векторв сонаправленный. Значит, у A будет тот же собственный вектор.

Второе. У каждой из исходных матриц может быть несколько собственных векторов. Какие же из них надо умножать? Произведений будет больше, чем самих векторов.

ссылка

отвечен 11 Янв '13 20:22

изменен 11 Янв '13 20:49

Благодарю за ответ. Со вторым дополнением согласен, а вот первого, к сожалению, не понял.

(12 Янв '13 1:20) АлекСт
1

Что такое собственный вектор? Если этот вектор умножить на матрицу, получим пропорциональной вектор. Предположим, что вектор r собственный и для B и для C. Тогда $%Br = br, Cr = cr $%, где b, c - числа. Но тогда $%Ar = bcr $%, так что$%r$% является собственным и для $%A$%. С другой стороны, векторное произведение $%r$% на $%r$% равно 0.

(12 Янв '13 2:23) DocentI

Спасибо, хорошо разжёвано, я понял :)

(12 Янв '13 22:21) АлекСт
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×279

задан
11 Янв '13 20:12

показан
670 раз

обновлен
12 Янв '13 22:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru