|
Есть ли у собственных векторов свойства мультипликативности, например, если UPD Собственно, вопрос возник вот на какой почве: есть запрограммированная функция, позволяющие найти собственные вектора (и числа) для симметричных матриц. Хотелось бы её приспособить для расчёта под произвольную матрицу. Подумалось применить LUP-преобразование, которое даёт верхнетреугольные и нижнетреугольные (симметричные, я так понимаю?) матрицы. То есть, $$ \begin{bmatrix} A \end{bmatrix} \stackrel{LUP}{\longrightarrow} \begin{bmatrix} L \end{bmatrix} \begin{bmatrix} U \end{bmatrix} {\begin{bmatrix} P \end{bmatrix}}^{-1} $$, где L - нижнетреугольная, U - верхне, а P - единичная с перестановкой элементов. задан 11 Янв '13 20:12 
АлекСт
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
Как Вы понимаете произведение векторов? Скалярное? Но результат - число! Векторное? Вряд ли, при чем тут асимметричность. Так что - нет! Дополнение. Второе. У каждой из исходных матриц может быть несколько собственных векторов. Какие же из них надо умножать? Произведений будет больше, чем самих векторов. отвечен 11 Янв '13 20:22 
DocentI Благодарю за ответ. Со вторым дополнением согласен, а вот первого, к сожалению, не понял.
(12 Янв '13 1:20)
АлекСт
1
Что такое собственный вектор? Если этот вектор умножить на матрицу, получим пропорциональной вектор. Предположим, что вектор r собственный и для B и для C. Тогда $%Br = br, Cr = cr $%, где b, c - числа. Но тогда $%Ar = bcr $%, так что$%r$% является собственным и для $%A$%. С другой стороны, векторное произведение $%r$% на $%r$% равно 0.
(12 Янв '13 2:23)
DocentI
Спасибо, хорошо разжёвано, я понял :)
(12 Янв '13 22:21)
АлекСт
|
В данной записи - точно нет. Левая часть равенства - вектор, правая - скаляр. А вот если в правой части написать векторное произведение вместо скалярного, то надо подумать.
Большое подозрение, что векторное тоже не подходит. Рассмотреть хоть двумерный случай!
Вообще хотелось изобразить условность некую, но, действительно, надо исправить, как понимаю, глаза режет
Кстати, дополнительный вопрос в тему: можно ли то же самое сказать про собственные значения матриц? Тут уж никаких вопросов про тип произведения не должно возникнуть.
Может, я неправильно понимаю термины, но почему верхнетреугольная матрица - симметричная?
Симметричная нижнетреугольной, видимо? В смысле, $%U_{i,j}=L_{j,i}$%. Хотя я, конечно, тоже могу понимать не правильно.
Вряд ли. Ведь сказано, что для симметричных матриц задача поиска собст . значений/векторов решена. Но таковые находятся для ОДНОЙ матрицы, а не для пары...
Вы правы, я плохо разобрался в предмете. Я поддался на прототип вышеоговоренной функции, которая принимает "укороченное" описание симметричной матрицы, по "верхнему треугольнику". Но очевидно, что эта "урезанная" форма записи не соответствует верхнетреугольной матрице, описанной так же. Короче, вопрос снимается в том виде, в котором я его задал. Большое спасибо отвечавшим!