Объём прямого параллелепипеда $$V = x^{6} + 3x^{5} + 3x^{4} + 10x^{3} + 3x^{2} + 3x + 9$$.Найти его наименьшую целочисленную диагональ

задан 12 Янв '13 12:33

Что здесь $%x$%?

(12 Янв '13 14:00) Anatoliy

А зачем? $%$%

(12 Янв '13 17:16) DocentI

@DocentI, коварный вопрос! Предлагаю дублировать его к половине задач форума :D

(12 Янв '13 17:21) chameleon
1

Отнюдь! Есть задачи практические, есть задачи красивые, есть задачи учебные. Ваша какая?

(12 Янв '13 18:05) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

$%x^6+3x^5+3x^4+10x^3+3x^2+3x+9=(x^2+4x+3)(x^2+3)(x^2-x+1)$%. Если предполагать, что множители в разложении многочлена - длины сторон прямоугольного параллелепипеда (возможно так и задумывалась эта задача, но видимо какие-то обстоятельства помешали этому ), то квадрат длины диагонали $%d^2(x)=(x^2+4x+3)^2+(x^2+3)^2+(x^2-x+1)^2.$% В этом случае нужно исследовать функцию $%d^2(x).$%

ссылка

отвечен 12 Янв '13 20:53

Я пробовал исследовать эту функцию. Ничего пока что не получилось.

(12 Янв '13 20:56) chameleon

Там производная - многочлен третьей степени. Можно попробовать (всеми дозволенными средствами) определить стационарные точки, затем сравнить значения исследуемой функции в этих точках или в ближайших к ним целых (если они не целые).

(12 Янв '13 21:10) Anatoliy

Уважаемые граждане-математики! Уже в который раз я убеждаюсь в том, что мои задачи не однозначны, о чём горько сожалею. У меня разложение: $%(x^{3} + 1)(x^{2} + 3)(x + 3)$%. Чтобы легче работать, я положил x = 1. Диагональ легко находится. Целочисленность приходится искать с помощью несложного перебора чисел. Кликаю @Anatoliy, потому что мне показалось, что он яснее представил замысел автора, хотя автор не мог предположить, что имеется второе разложение. А может, и третье есть?

(12 Янв '13 22:09) nikolaykruzh...

Более того, для отдельных $%x$% есть разложения числа $%V$%, не получающиеся из разложения полинома $%V$%. Т.е. не выражающиеся через $%x$% с помощью многочленов.

(12 Янв '13 23:55) DocentI

Ценю Вас за дотошность, принципиальность и ощутимое внимание ко мне, которого, почти уверен,не заслуживаю. Спасибо Вам!

(13 Янв '13 19:30) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
1

Без никаких дополнительных условий задача бессмысленна, т.к. $%x^6+3x^5+3x^4+10x^3+3x^2+3x+9$% может принимать любое положительное значение, следовательно и диагональ может быть любая. А в предположении, что $%x$% - целое:
Известно, что при фиксированном объеме диагональ параллелепипеда не может быть меньше $%\sqrt{3}\sqrt[3]{V}$%. Наименьшее положительное значение V(x) принимает при x=0: V=9. $%d\ge\sqrt{3}\sqrt[3]9\approx3.6$%. $%d\ge4$%.
Если добавить условие, что стороны параллелепипеда - тоже целые (т.е., натуральные), то придется, видимо, перебирать разные значения икса, пока не найдется вариант с целочисленной диагональю, чего мне делать не хочется. Единственное, что могу добавить по этому поводу - скорее всего стороны будут равны $%(x^2+4x+3), (x^2+3), (x^2-x+1)$%, но не факт, конечно же.

ссылка

отвечен 12 Янв '13 16:20

А почему стороны такие, а не другие? Конечно же, это не факт!

(12 Янв '13 20:15) nikolaykruzh...

Потому что наименьшие диагонали достигаются, когда стороны примерно равны. Вот я и взял многочлены одинаковой степени из разложения V. @nikolaykruzh..., Вы лучше условие уточните...

(12 Янв '13 20:36) chameleon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,924

задан
12 Янв '13 12:33

показан
1127 раз

обновлен
13 Янв '13 19:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru