Дан оператор $%A:l_1 \rightarrow l_{\infty}, (Ax)(n)=\sum_{k=1}^n x(k)$%
1) является ли А непрерывным?
2) является ли А непрерывно обратимым?
3) $%Ker(A)=?$%
4) является ли $%Im A$% замкнутым в $%l_{\infty}$%?

задан 28 Мар '17 12:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Да, является. Рассмотрим единичный шар в норме пространства $%l_1$%. Это будет множество последовательностей $%x$%, для которых $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|=1$%. Тогда частичные суммы $%s_n=x_1+\cdots+x_n$% по модулю ограничены единицей: $%|s_n|\le|x_1|+\cdots+|x_n|\le1$%. Это значит, что точки образа единичной сферы, а именно, последовательности $%Ax=(s_1,...,s_n,...)$%, ограничены единицей в норме пространства $%l_{\infty}$%. Тем самым, $%A$% ограничен (легко показать, что норма его в точности равна $%1$%), а потому непрерывен.

3) Очевидно, что ядро нулевое: если последовательность частичных сумм $%s_n$% нулевая, то и сама последовательность $%x_n$% нулевая. В частности, мы имеем биекцию на образ.

2) Образ оператора $%A$% состоит из таких ограниченных числовых последовательностей $%s_n$%, для которых сходится ряд $%|s_1|+|s_2-s_1|+\cdots+|s_n-s_{n-1}|+\cdots$%. На этом образе определено отображение $%A^{-1}$%. Это линейный оператор, но он не ограничен. Действительно, рассмотрим последовательности $%(1;0;1;0;...1;0;0;0;...)$%, где $%1$% встречается $%m$% раз. Норма в $%l_{\infty}$% равна $%1$%, однако при $%A^{-1}$% они переходят в $%(1;-1;1;-1;...;1;-1;0;0;...)$%, для которых норма в $%l_1$% равна $%2m$% и может быть сколь угодно большой. Значит, $%A^{-1}$% не ограничен, и $%A$% не является непрерывно обратимым.

4) Покажем, что образ $%A$% не замкнут, поскольку его дополнение не открыто. Рассмотрим последовательность $%s_n=1-\frac12+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}n$%. Она ограничена, так как является последовательностью частичных сумм ряда, сходящегося к $%\ln2$%. Она не принадлежит образу $%A$%, так как ряд из модулей разностей $%|s_1|+|s_2-s_1|+\cdots+|s_n-s_{n-1}|+\cdots$% является гармоническим. Вместе с тем, в любой сколь угодно малой окрестности рассматриваемой последовательности есть последовательность из образа, а именно, $%(s_1,...,s_n,\ln2,\ln2,...)$%, где $%n$% достаточно большое. Из критерия принадлежности образу сразу ясно, что если последовательность постоянна, начиная с некоторого члена, то образу $%A$% она принадлежит, так как ряд из модулей разностей есть конечная сумма. Расстояние от такой точки до $%(s_1,s_2,...,s_n,...)$% в норме $%l_{\infty}$% стремится к нулю с ростом $%n$%, так как $%s_n\to\ln2$% при $%n\to\infty$%.

ссылка

отвечен 28 Мар '17 22:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×85
×20
×8
×4

задан
28 Мар '17 12:36

показан
688 раз

обновлен
28 Мар '17 22:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru