Равно ли произведение всех ненулевых вещественных чисел минус единице? Ведь все эти числа можно разбить на пары следующим образом: Первую пару образуют числа 1 и -1, а далее, для каждого $%a\in\mathbb{R}$% подбираем пару $%\dfrac{1}{a}$%

Таким образом, в каждой паре, кроме первой, произведение равно 1, а в первой паре оно равно -1, следовательно утверждение, вынесенное в заголовок, верно.

Где здесь ошибка?

задан 28 Мар '17 23:51

2

Понятие суммы (произведения) счётного числа слагаемых (сомножителей) ещё имеет иногда смысл, если соответствующие ряды или бесконечные произведения сходятся, но для континуального количества членов этому трудно придать какую-либо разумную интерпретацию. Иногда что-то бывает можно интерпретировать как интеграл, но не в данном случае.

За этим рассуждением не стоит ничего кроме софизма. Ещё более просто было бы взять ряд 1-1+1-1+..., перегруппировывая его члены и получая разные результаты. Но ни малейшего смысла это не имеет.

(29 Мар '17 0:00) falcao

@falcao , большое спасибо!

(29 Мар '17 0:08) Аллочка Шакед

@falcao , хотя, стоп-машина! Вам мешает именно континуум? Так давайте возьмём все ненулевые рациональные числа, их не континуум. Что Вы думаете?

(29 Мар '17 0:11) Аллочка Шакед
1

@Танюшка Мадр...: континуальность является лишь дополнительным препятствием, но оно не единственное. Для счётного случая все эти вещи можно делать для случая сходящихся рядов и бесконечных произведений. А здесь, даже если ограничиться числами 1,2,...,n,... и им обратными, то есть 1/2, 1/3, ... , то группировка членов с выводом о том, что произведение равно 1 -- это примерно то же самое, что группировка членов ряда из бесконечного числа единиц и минус единиц. С расходящимися рядами такого делать нельзя, так как для них не определено понятие суммы, и его разумно нельзя определить.

(29 Мар '17 0:23) falcao
1

Даже для сходящихся рядов, которые не сходятся абсолютно (то есть ряд из абсолютных величин расходится), есть теорема Римана, которая гласит, что перегруппировка членов таких рядов может дать любое действительное значение в качестве их суммы.

(29 Мар '17 0:25) falcao

@falcao , большое спасибо!

(29 Мар '17 0:34) Аллочка Шакед
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,066
×1,035
×336
×209
×10

задан
28 Мар '17 23:51

показан
349 раз

обновлен
29 Мар '17 0:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru