Если <G,>-произвольная группа и для любых элементов a, b этой группы верно равенство ab=b^5a^3. Докажите равенство порядков о(ba^-1)=o(b^5a)=o(b^3a^3) Обозначения: * - бинарная операция, ^ - степень, о - порядок.

задан 29 Мар '17 14:36

10|600 символов нужно символов осталось
0

Думаю, что в оригинале условие звучало несколько по-другому. А именно, элементы $%a,b\in G$% произвольные, но равенство $%ab=b^5a^3$% выполнено именно для них, а не для каких угодно элементов группы. То есть это не тождество, в которое можно было бы что-то другое подставлять.

Утверждение задачи следует из двух простых фактов: порядки двух взаимно обратных элементов равны, и то же самое для сопряжённых элементов. То есть $%o(x)=o(x^{-1})$% и $%o(y^{-1}xy)=o(x)$% для любых $%x,y\in G$%. Это следует из того, что равенства $%x^n=e$% и $%(x^{-1})^n=e$% равносильны, и то же для равенств $%x^n=e$% и $%(y^{-1}xy)^n=y^{-1}x^ny=e$%.

Из соотношения, данного в условии, следует, что $%b^5a=aba^{-2}=a(ba^{-1})a^{-1}$%, то есть элементы $%b^5a$% и $%ba^{-1}$% сопряжены, и их порядки равны. Далее, $%b^3a^3=b^{-2}ab=b^{-2}(ba^{-1})^{-1}b^2$%, то есть $%b^3a^3$% сопряжён элементу, обратному $%ba^{-1}$%. Значит, их порядки также равны.

ссылка

отвечен 29 Мар '17 16:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,544
×869
×63
×54

задан
29 Мар '17 14:36

показан
503 раза

обновлен
29 Мар '17 16:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru