Прошу о помощи в поиске количества корней у следующего логарифмического уравнения:

lg(x + 1) = x - 1

задан 31 Мар '17 9:00

Между 1 и 2 есть корень. То, что он единственный, можно доказать при помощи производной, исследуя промежутки возрастания и убывания разности двух функций.

(31 Мар '17 9:30) falcao

@falcao, дык, тут не сказано, что ищутся положительные корни...

(31 Мар '17 10:49) all_exist

@all_exist: ищутся корни на области определения, то есть при x > -1. Доказывается, что один корень есть. Далее проверяется, что он только один с использованием производной. По идее, можно написать более подробное решение.

P.S. Я понял: Вы имеете в виду, что между -1 и 0 есть ещё корень. Я его сразу не заметил. Видимо, есть смысл всё изложить детально.

(31 Мар '17 12:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим функцию f(x)=x-1-lg(x+1). Она определена при x > -1. Заметим, что она непрерывна, f(1)=0-lg2 < 0, f(2)=1-lg3 > 0. Значит, на интервале от 1 до 2 есть корень. Помимо него, есть ещё корень между -1 и 0. Действительно, при стремлении х к -1 функция стремится к плюс бесконечности, а в нуле значение функции отрицательно (равно -1). Докажем, что всего корней будет ровно два.

Производная равна f'(x)=1-1/((x+1)ln10). Она обращается в ноль, когда x+1=1/ln10=lg e. При -1 < x < lg e - 1 функция f(x) убывает, и далее возрастает при x > lg e - 1. В точке x_0 = lg e - 1 функция имеет локальный минимум. Значение функции в точке x_0 равно lg e - 2 - lg lg e, и оно отрицательно. Следовательно, при x < x_0 имеется не более одного корня для убывающей функции, и при x > x_0 не более одного у возрастающей. Значит, корней не более двух. Два корня мы указали выше (заметим, что в явной форме они не выражаются). Итого корней ровно два.

ссылка

отвечен 31 Мар '17 12:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×744
×274

задан
31 Мар '17 9:00

показан
738 раз

обновлен
31 Мар '17 12:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru