В математической олимпиаде по математике принимают участие Ханечка, Ксюшенька и Аллочка. В каждом туре за первое место дают 3 очка, за второе - 2 очка, за третье - 1, причём каждое место занимает ровно одна из участниц.

По итогам олимпиады все три участницы набрали поровну очков. Оказалось, что Ханечка обошла Ксюшеньку в 14 турах, а Аллочку - только в 7. А сколько всего было туров?

задан 2 Апр '17 11:04

3

"В математической олимпиаде по математике" -- а разве бывают математические олимпиады не по математике? :)

(2 Апр '17 11:30) falcao

@falcao , попробуйте набрать в Гугле "математическая олимпиада по математике", только обязательно возьмите это выражение в кавычки, именно в такие, как сейчас у меня, тогда Гугл выдаст именно это словосочетание. Вы будете крайне удивлены!

(2 Апр '17 11:45) Аллочка Шакед

@Танюшка Мадр..., набрал именно в кавычках... выдало две ссылки - на этот топик и на какую-то Воронежскую гимназию (объявление про "Кенгуру")... крайне удивился... )))

(2 Апр '17 19:37) all_exist

@Танюшка Мадр...: в Гугле много чего есть -- любое слово, написанное с ошибкой (типа "индиндент") будет встречаться несколько сотен тысяч раз.

Как-то раз мой френд из ЖЖ задал такой забавный вопрос. Чему соответствует такая последовательность: 4880000, 7760000, 8080, 997, 595, 156, 149, 161, 120, 23, 37, 8, 25, 8, 2, 3, 6, 5, 4, 0, 2, 0, 5, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 0? Сейчас эти данные слегка устарели, но основная идея осталась :)

Я решал задачу через составления уравнений с 6 переменными, по числу перестановок. Ответ получился такой же, но было ясно, что решение длинноватое, и что можно покороче.

(2 Апр '17 20:52) falcao

Воспроизводя слово с опечаткой, я сам опечатался :) Имелся в виду, конечно, "инциндент" (а встречается даже "инцендент").

(3 Апр '17 2:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Цикличная перестановка 3 участников в трех турах (Х,К,А), (А,Х,К) и (К,А,Х) дает равное число баллов всех трех участниц по 6 и при этом Х обгоняет К 2 раза, а А - только 1 раз. То есть ровно в 2 раза больше Х обгоняет К чем А. Для того чтобы получить 14 и 7 нужно провести 3*7=21 тур.

ссылка

отвечен 2 Апр '17 11:31

@aid78 , большое спасибо!

(2 Апр '17 11:42) Аллочка Шакед

@aid78: возможно, я не до конца понял Ваш ход мысли, но Вы приводите пример 21 тура с выполнением условий. А следует ли из этого рассуждения, что такой вариант единственен? Вдруг есть какое-то "несимметричное" решение с другим числом туров?

(2 Апр '17 20:54) falcao

@falcao я действительно привел пример, удовлетворяющий условию, но не доказал его единственности.

(2 Апр '17 21:20) aid78
10|600 символов нужно символов осталось
1

Ханнушка обошла обеих столько же раз, сколько раз была обойдена обеими.

Допустим, было $%N=21-M$% туров, где Ханнушка обошла кого-то из них; из них $%M$% таких, где Ханнушка обошла обеих. Значит, должно быть ещё ровно $%M$% таких, где Ханнушка никого не обошла. Всего $%21$% штука.

Во многой мудрости много печали; и, преумножая познания, преумножаешь скорбь…

===============================

PS: построить пример с 21 турами чуть сложнее, чем доказать отсутствие примеров с другим количеством туров, но тоже нетрудно. Возьмём то же самое утверждение: каждая участница обошла обеих столько же раз, сколько была обойдена обеими. Оно сразу следует из того факта, что общее количество очков — это количество туров, умноженное на шесть, и каждая участница отхватила количество очков, равное количеству туров, умноженному на два.

Значит, Ханнушка $%M$% раз обошла обеих, $%M$% раз была обойдена обеими, а в остальных случаях была на втором месте; $%0 \leq M \leq 7$%. Ханна обогнала Ксюшку на 7 раз чаще, чем Аллу; вся эта разница создана за счёт тех $%21-2M$% случаев, когда Ханна попала на второе место. Во всех этих случаях, создавших разницу, Ксюшка попала на последнее место, а Алла — на первое; и компенсировать их нужно теми случаями, когда Ханна попала на последнее либо на первое место. Стало быть, и тех случаев, и других должно быть как минимум семь; поскольку их не может больше семи по условиям задачи, то их ровно семь.

Получается картина: семь раз Алла опередила Ханну, Ханна опередила Ксюшу; семь раз Ханна опередила Ксюшу, Ксюша опередила Аллу; и семь раз Ксюша опередила Аллу, и Алла опередила Ханну. Каждая участница по семь раз была на первом и на последнем месте, что и требовалось получить.

Должен отметить, что эта олимпиада по математике по своему образу существования есть не слишком жизненная, а, скорее, математическая…

ссылка

отвечен 3 Апр '17 1:51

изменен 4 Апр '17 21:34

@abracadabra11 , большое спасибо!

(3 Апр '17 23:46) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,389
×1,114
×370
×211
×18

задан
2 Апр '17 11:04

показан
687 раз

обновлен
4 Апр '17 21:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru