|
Легко объяснимо равенство:$$2^{2}+10^{2}+11^{2}=15^{2}$$. Теорема Пифагора для трёхмерного евклидова пространства. А что означает равенство: $$3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}$$? Это тоже трёхмерное пространство. Тоже евклидово. Но метрика задана по-другому. Обе метрики могут совпасть друг с другом (быть соизмеримыми) только в очень частных случаях (как в приведённых примерах). В огромном большинстве других случаев обе метрики не соизмеримы. И вопрос этот, вопрос о соизмеримости, молчаливо обходится, как будто его не существует. А если вместо тройки будет стоять любое вещественное положительное число, большее единицы, и основание правой части будет соответствующим? Или я ошибаюсь, и что-то в этом направлении сделано? $$23.02.2013$$ В дополнение к спору с @DocentI о метриках. Евклидово пространство симметрично и изотропно. Пространство с кубами не симметрично и анизотропно. Как найти координатный угол (систему координат) такого, "кубового" параллелепипеда, если все проекции главного вектора на оси координат и модуль самогО главного вектора известны?.. Впрочем, Вам скучно, Вы зеваете, вопрос не интересен, а Ваше время - дорого!. $$27.03.2013$$ @MathTrbl, Вы, разумеется, оказались правы: углы в треугольниках, вписанных в кругоиду третьей (и вообще любой другой) степени, не являются const, чем характеризуется евклидова метрика (угол равен $%\pi/2$% в любом прямоугольном треугольнике внутри окружности): в кругоиде они "плавают" от $%\pi/2$% на диаметре кругоиды до некоторой величины, меньшей $%\pi/2$%, когда остроугольный треугольник - равнобедренный. и большей - когда треугольник тупоугольный $$01.12.2015$$ Первая сумма является частным случаем уравнения пирамиды: $$(a_{1})^{2}+ (a_{2})^{2} + (a_{3})^{2} = 15^{2}$$. Вторая сумма - тоже частный случай уравнения пирамиды, как и в предыдущем случае, с той лишь разницей, что вместо степени 2 нужно поставить степень 3, а вместо 15 поставить число 6. Из равенства 2 можно получить пирамиду с прямыми углами при вершине: $$(a_{1})^{2/3}+ (a_{2})^{2/3} + (a_{3})^{2/3} = 6^{2/3}$$. Тот же приём действителен и для равенства 1: $$(a_{1})^{3/2}+ (a_{2})^{3/2} + (a_{3})^{3/2} = 15^{3/2}$$ задан 13 Янв '13 22:57 
nikolaykruzh...
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
По поводу дополнения: в "кубовой" метрике, как вы изволили выразиться, угол посчитать не получится. Ибо доказана весьма хорошая теорема: Для того, чтобы в нормированном пространстве можно было ввести скалярное произведение (а вместе с ним и углы), необходимо и достаточно выполнения тождества паралеллограмма $%\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)$% В ведённом вами пространстве $%\|x\|_3=\left ( x_1^3+x_2^3+x_3^3\right )^{1/3}$% это тождество нарушено. В качестве примера возьмём $%x=\{1,1,1\},y=\{1,0,1\}$% Тогда $%x+y=\{2,1,2\},x-y=\{0,1,0\}$% Посчитаем "кубовые" нормы (которые обычно называют третьей нормой) $$\|x\|_3=\sqrt[3]{3},\|y\|_3=\sqrt[3]{2},\|x-y\|_3=1,\|x+y\|_3=\sqrt[3]{17}$$ Очевидно, что $%\sqrt[3]{17}+1\neq2(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2})$% Действительно, $%\sqrt[3]{17}+1 < 4$%, а $%2(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2})>2(1+1)=4$% P.S. Что касается основного вопроса, то ответ на смысл даётся в "Занимательной алгебре" Перельмана. Это выражение означает, что куб с ребром 6 см, равновелик сумме кубов с рёбрами 3,4 и 5 сантиметров. отвечен 23 Фев '13 14:38 
MathTrbl Боже! Какая незадача! Угол посчитать не получится,потому что произведение двух координат равно нулю только в одном случае: когда они ортогональны. Но практически его можно найти, если имеются отрезки длиной 3, 4, 5 и 6 с шаровыми шарнирами в их концах. Методом подбора найти угол, одинаковый для двух пар: 3 - 4 и 4 - 5, чтобы шарниры сошлись и для пары 5 - 6 - неужели это проблема? Я ничего не имею против "кубовых" норм, но если они противостоят очевидной истине, то, знаете, ... даже чёрт начнёт чесать в затылке... Физический смысл "кубового" равенства мне понятен. Спасибо.
(23 Фев '13 19:22)
nikolaykruzh...
Посмею ещё раз повторить вам то. что угол посчитать не получится единственно по той причине, что в норме, отличной от квадрата, не выполняется тождество параллелограмма. Угол вводится именно за счёт скалярного произведения, которое невозможно ввести, ибо нарушено необходимое и достаточное условие его существования. Доказательство упомянутой теоремы можно найти в любом достаточно хорошем учебнике по теории функций (например, в Колмогорове, Фомине)
(23 Фев '13 20:38)
MathTrbl
Нельзя, ибо система из четырёх отрезков в трёхмерном пространстве линейно зависима, то есть один будет выражатья через другие. Пусть у нас есть вектора, на которых построен трёхгранник, $%a,b,c$%. Так как фигура является трёхгранником, то эти вектора линейно независимы. Четвёртый вектор $%d=\alpha a + \beta b + \gamma c$% обязательно будет выражаться через три остальных, и при попытке посчитать угол (что, опять же, возможно только и только при евклидовой метрике), мы наткнёмся на то, что, вообще говоря, углы между d и каждым из вектором a,b и c, будут неравны.
(24 Фев '13 9:41)
MathTrbl
|
|
Утверждение
неверно, так как физически реализуются, например, расслоенные пространства и калибровочные связности с кривизной, реализуются гильбертовы (счетные,сепарабельные, всюду плотные) с нормой в L2, и вообще говоря, много такого, о чем Вы даже не подозревали. отвечен 6 Фев '13 15:16 
wusan "Если задана другая метрика - это тоже метрическое пространство, но НЕ евклидово. Евклидова метрика соответствует "обычному" физическому пространству. Другие метрики - другим пространствам, не реализованным физически" - это цитата из @DocentI. Ваш хук направлен против неё. "...и вообще говоря, много такого, о чем Вы даже не подозревали" - из @wusan. Полностью с Вами согласен. О том, что не подозревал, сожалею. Однако по поводу кубов и квадратов, поднятых в вопросе, Вы внятно ничего не произнесли. Не соблаговолите ли прояснить свою позицию? Вопрос поднят конкретный, а не вообще некий этакий
(6 Фев '13 20:02)
nikolaykruzh...
Ну разумеется, есть множество моделей пространства. Например, четырехмерное пространство-время с метрикой отрицательной кривизны. Я, слава богу, по образованию геометр . Для автора вопроса я допустила некоторое упрощение, так как он все время путает физический и математический подход.
(6 Фев '13 20:10)
DocentI
Вы к кому обращаетесь? Я - подозреваю. Хотя и не знаю досконально. Но не буду же я об этом говорить человеку, который знает математику на уровне младших курсов инженерной специальности.
(6 Фев '13 20:13)
DocentI
Спасибо Вам! Хоть Вы защитили меня от сердитого @wusan! Откуда ему знать, что у меня и понятия нет о пространстве Минковского? Вы не беспокойтесь: конечно, он не Вас имел в виду, когда подозревал кого-то в чём-то. Узнав о том, что Вы "...слава богу, по образованию геометр", он сразу замолчап! А со мною, почувствовав, что мои математические доспехи "на уровне младших курсов инженерной специальности", он до сих пор спорил бы и наверняка задолбал бы. Если бы Вы не вступились! Спасибо!
(23 Фев '13 22:42)
nikolaykruzh...
На основе кубического равенства $$3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3}$$ можно построить пирамиду, в основании которой лежит треугольник со сторонами 3, 4 и $$91^{2/3}$$ с углом между сторонами 3 и 4, равным $$\phi = 78,539786475...$$. Другой важный треугольник образуют стороны 4, 5 и $$189^{2/3}$$ с углом между сторонами 4 и 5, равным $$\alpha = 78,3661732...$$. Ещё две боковых грани: 1) $$91^{2/3}$$, 5 и 6; 2)3, 6 и $$189^{2/3}$$. Углы между сторонами 3 и 4 ($$\phi = 78,539786475...$$) и сторонами 4 и 5 ($$\alpha = 78,3661732...$$) не равны между собою. Итак, систему координат построить невозможно.
(26 Янв '14 23:53)
nikolaykruzh...
Невозможно при заданных числах: 3, 4, 5, 6. Но! Угол $%\phi$% можно найти: $$cos\phi = ((3^{2} + 4^{2} - (\sqrt[3]{91})^{2})/(2\times 3\times4)$$. Для угла $%\alpha$%: $$cos\alpha = (4^{2} + c^{2} - f^{2})/2\times4\times c$$, где: $$f^{2} = \(sqrt3^{2}$$. Приравняем оба косинуса и найдём величину с. Тогда новая четвёрка чисел: 3, 4, с, 6 будет сидеть в искомой системе координат. Это возражение на ответ @MathTrbl
(8 Фев '14 14:21)
nikolaykruzh...
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Вообще ничего непонятно. Что значит_метрики совпадают/соизмеримы_? Это одно и то же? Квадратная и кубическая метрики не совпадают. Или Вы говорите о совпадении расстояний? Или об их целочисленности? Почему в Вашем примере "метрики соизмеримы"? Они относятся к разным точкам и не равны между собой! Если Вы хотите обсудить некие целочисленные соотношения, не называйте их, пожалуйста, "метрики". отвечен 13 Янв '13 23:30 
DocentI Есть пространства с двумя метрики. Метрики разные, следовательно, для большинства точек не совпадают между собой. Это не удивительно. Вы вводите какое-то новое понятие "соизмеримости", не давая ему определения.
(16 Янв '13 23:08)
DocentI
Нет, она жена Ивана Васильевича Бунши, управдома. Пересмотрите фильмы Гайдая, прекрасное занятие!
(6 Фев '13 21:20)
DocentI
Можно. Получатся разные пространства, с разными расстояниями. Одно из них - евклидово. Вот только какое это имеет отношение к вашему вопросу? Вы придумали новое понятие - "соизмеримость". Смысл его не объяснили и ждете, что мы что-то путное про него скажем. Тем более, что вы путаете метрику и расстояние.
(9 Фев '13 12:09)
DocentI
@Anatoliy решал задачу, поставленную другим математиком, поэтому и догадался (я, кстати, тоже). Но что думаете Вы мы никак догадаться не можем. Дело не в названии этого соотношения, а в его сути. Я, конечно, знаю некоторые связи между метриками (вернее, порождаемыми ими топологиями), но, боюсь, Вас это не волнует. А вообще - почаще заглядывает в гугл и википедию. Мои комментарии кончились
(10 Фев '13 21:57)
DocentI
|
Если метрика задана по-другому, то это НЕ евклидово пространство.
Если это пространство вписывается в евклидово трёхмерное пространство, то почему оно НЕ евклидово? Оно не является пространством Лобачевского или Римана. Каждую точку пространства с кубами в качестве степени можно описать по теореме Пифагора (с квадратами в качестве степени), значит, его можно считать евклидовым. 8 - это два в кубе и одновременно $%(2х(2^{1/2})$% в квадрате. И так с любой точкой пространства, как бы Вы его ни обозвали: никчемное или как-то по-другому. Опустите штык в землю, если есть желание внушить истину. А если нет желания прислушаться, то зачем вступать в разговор?
Вы ушли от конкретного вопроса. Трёхмерное евклидово пространство можно описать формулами с квадратами и формулами с кубами. Является ли оно евклидовым,если оно описано формулами с кубами? В моём вопросе проблема о резиновости пространства и о возможностях топологии не упоминалась. Зачем Вы их сюда приплюсовали? С какого боку?.. Пространство не вписывается одно в другое (я оговорился). Оно существует само по себе, не зависимо от меня, Вас и кого бы то ни было. А вот метрика (способ измерять расстояния)- это наш произвол. Об этом и поднят вопрос. Квадраты и кубы - это простейший подход.
Так вы о физическом пространстве говорите? Или о математическом? По определению, Евклидово пространство - это пространство $%R^n$% , в котором задана метрика Евклида, т.е. "с квадратами". Если задана другая метрика - это тоже метрическое пространство, но НЕ евклидово. Евклидова метрика соответствует "обычному" физическому пространству. Другие метрики - другим пространствам, не реализованным физически.
Не надо путать модель с реальностью. И уж тем более не надо спорить со мной, что такое пространство!
Я пытаюсь искать истину, а Вы мне не разрешаете спорить с Вами, Вы ТРЕБУЕТЕ принять Вашу точку зрения. Почему одно и то же пространство, описанное квадратами, евклидово, а описанное кубами - НЕ евклидово? Если я рисую дерево простым карандашом, а затем его же - красками, то разве дерево от этого может поменять свою суть: в карандаше - быть дубом, а в красках - баобабом?.. Впрочем, если Вам надоело спорить, не отвечайте. Я ведь - зануда, каких свет ещё не видывал. Знаю себя, а остановиться - не могу. А Вы остановиться можете. Самый трудный народ - не дети, а - старики. Спокойной ночи!
Я требую, потому что это определение. Если Вы используете общепринятые термины, не придавайте им свой смысл. Если вы найдете диагональ параллелепипеда по формуле $%\sqrt[3]{x^3 + y^3 + z^3}$%, а потом измерите ее, результат не совпадет. Эта формула не соответствует физическому пространству и не называется евклидовой .
Разумеется, Вы правы, если это пространство описано в квадратах. Я описываю параллелепипед кубами: $%3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 6^{3}$% и саркастически, с применением к Вам Вашей подножки, предлагаю Вам убедиться в том, что его диагональ: $%3^{2} + 4^{2} + 5^{2}$% не равна 6. Параллелепипед в Вашем понимании не соответствует моему. Вот и вся проблема, которую я и вынес на обсуждение, проблему соизмеримости метрик ОДНОГО И ТО ЖЕ ПРОСТРАНСТВА (с одного боку евклидова, а с другого - чёрт-те какого. Но не может это пространство одновременно быть дубом и баобабом!)... И когда же Вы скажете: "Тьфу!"?
Тут места нет, пишу в комментах к ответу