Известно, что $%f(x)=2 | arctg \frac{1}{x^3}|-\pi$% при $%x \ne 0$% и $%f(x)=0$% при $%x =0$%. Верно ли, что существует $%f'(0)$%?

задан 7 Апр '17 17:18

1

Функция в точке 0 непрерывна. предел слева равен пределу справа и равен нулю

(7 Апр '17 21:19) nynko
1

@nynko: функция непрерывна, но речь ведь идёт о дифференцируемости в нуле.

(7 Апр '17 22:04) falcao
1

@falcao. Ну а если она в окрестности нуля гладкая, то и дифференцируемая?

(7 Апр '17 22:42) nynko
1

@nynko: дифференцируемость в точках, отличных от нуля, понятна. Но откуда следует, что всё это выполняется в нуле? Это надо отдельно доказывать. Ведь даже случай функции y=|x| можно считать аналогичным, хотя там ответ отрицательный, а в проколотой окрестности всё хорошо.

(7 Апр '17 23:04) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Воспользуемся тем, что $%\tan t=t+O(t^3)$% при $%t\to0$%. Из этого следует, что $%\tan(\frac{\pi}2-t)=\cot t=\frac1{t+O(t^3)}=\frac1t(1+O(t^2))=\frac1t+O(t)$%. При $%t > 0$% можно перейти к арктангенсам: $%\frac{\pi}2-t=\arctan(\frac1t+O(t))=\arctan\frac1t+O(t)$% ввиду того, что производная равна $%(\arctan\frac1t)'=-\frac1{t^2+1}=O(1)$%.

Теперь пусть $%t=x^3$%, где $%x\to0$%. Получаем, что $%\arctan\frac1{x^3}=\frac{\pi}2+O(x^3)=\frac{\pi}2+o(x)$%. Тогда при $%x > 0$% имеем $%f(x)=o(x)$%, откуда следует, что правая производная в нуле существует и равна нулю. Функция чётна, поэтому левая производная тоже равна нулю. Отсюда $%f'(0)=0$%.

ссылка

отвечен 7 Апр '17 23:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×275

задан
7 Апр '17 17:18

показан
390 раз

обновлен
7 Апр '17 23:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru