Доказать, что аддитивная и мультипликативная группы бесконечного поля не могут быть конечно порождены.

задан 11 Апр '17 9:38

10|600 символов нужно символов осталось
1

Конечно порождённая абелева группа является конечным прямым произведением циклических групп. Всякая её подгруппа также конечно порождена.

Рассмотрим вопрос об аддитивной группе поля. Если оно имеет нулевую характеристику, то содержит подполе, изоморфное $%\mathbb Q$%, а эта группа относительно сложения не является конечно порождённой. Последнее очевидно из тех соображений, что у конечного числа дробей имеется лишь конечное число простых делителей для их знаменателей, и тогда никакие дроби вида $%\frac1p$%, где $%p$% достаточно большое простое, такой группе не принадлежат.

Если поле имеет конечную характеристику $%p$%, то аддитивная группа изоморфна прямой сумме групп вида $%\mathbb Z_p$%. Если она конечно порождена, то получается пространство конечной размерности, а оно над конечным полем конечно, то есть аддитивная группа получается конечной.

Теперь рассматриваем мультипликативную группу поля. В случае нулевой характеристики у нас возникает подгруппа $%\mathbb Q^{\ast}$% относительно умножения. Она также не конечно порождена: у конечного числа порождающих множество простых делителей числителей и знаменателей дробей также конечно, и новых простых чисел мы таким образом не получим.

Пусть теперь поле имеет конечную характеристику $%p$%. Рассмотрим случай, когда поле не алгебраично над основным подполем, то есть содержит трансцендентный элемент $%x$%. В этом случае мы имеем подполе рациональных функций $%\mathbb Q(x)$%, мультипликативная группа которого не конечно порождена. Это следует, например, из того, что множество неприводимых над $%\mathbb Z_p$% многочленов бесконечно (это аналог того, что множество простых чисел бесконечно). У конечного числа порождающих количество неприводимых многочленов, являющихся делителями числителя или знаменателя рациональной функции, конечно. Тем самым, мы не получим всю группу.

Наконец, пусть все элементы алгебраичны. Тогда каждый из них содержится в конечном подполе и потому имеет конечный порядок в мультипликативной группе. Абелева конечно порождённая группа с таким свойством всегда конечна (её разложение в прямое произведение не содержит бесконечных циклических сомножителей).

ссылка

отвечен 11 Апр '17 14:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×507
×252

задан
11 Апр '17 9:38

показан
937 раз

обновлен
11 Апр '17 14:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru