Найти четырёхзначное число, являющееся точным квадратом, и такое, что две первые цифры одинаковы между собой и две последние также.

Официальное решение сводится к тому, чтобы перебрать квадраты чисел 33, 44,..., 99.

Не думаю, что это хорошая идея - тратить на подобный перебор драгоценное время, которого на олимпиаде и так в обрез.

Во-первых, нечётные числа можно сразу же отбросить, поскольку если бы две последние цифры квадрата нечётного числа были одинаковыми, такой квадрат оканчивался бы на две нечётные цифры, что невозможно.

Следовательно, осталось перебрать только три числа - 44, 66 и 88.

Но и этого можно избежать! Ведь квадраты чисел 44 и 66 оканчиваются на 6, следовательно, последние две цифры тоже не могут быть одинаковыми (квадраты не кончаются на 66, иначе давали бы остаток 2 при делении на 4).

Итак, методом элиминации мы пришли к единственно правильному варианту: 88. Осталось лишь возвести его в квадрат и получить 7744, и задача решена.

Кстати, можно даже и 88 в квадрат не возводить, ведь 88 лежит между 80 и 90, значит, первые две цифры его квадрата - либо 66, либо 77, либо 88, но 66 и 88 невозможны по модулю 9 (6644 даёт остаток 2, а 8844 - 6).

Итак, ответ 7744, и без всякого там перебора. Будьте любезны, оцените. Заранее спасибо!

задан 11 Апр '17 10:43

2

Можно ещё использовать дополнительное соображение. Возводимое в квадрат число делится на 11. Квадрат делится на 121. Если он имеет вид aabb, то a0b делится на 11, то есть a+b=11. Это снижает число перебираемых случаев.

(11 Апр '17 12:32) falcao
1

Для полной ясности: пусть aabb (с чертой) = 11(100a+b) -- точный квадрат. Тогда a+b кратно 11 => равно 11, и 100a+b=11(9a+1). Значит, 9a+1=m^2 < 100, 9a=(m-1)(m+1); одно из чисел делится на 9 (так как оба не могут делиться на 3) => m=8, a=7, b=4.

(11 Апр '17 12:46) falcao

@falcao , большое спасибо!

(11 Апр '17 13:55) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,066
×1,032
×336
×225
×209

задан
11 Апр '17 10:43

показан
611 раз

обновлен
11 Апр '17 13:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru