Решить в целых неотрицательных числах уравнение: $$n!\cdot (n+1)!\cdot (n+2)!=k^3$$

задан 14 Апр '17 17:02

1

На первый взгляд, тут нет решений. Красивый пример получается, если левую часть домножить ещё на n+1. Тогда n=6 подходит.

(14 Апр '17 17:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Тут вообще-то отрицательный ответ почти очевиден. Можно поделить на n!^3, и окажется, что (n+1)(n+1)(n+2) есть куб рационального числа. Делим ещё на (n+1)^3, получая, что (n+2)/(n+1) есть куб рационального. Но это соседние числа, они взаимно просты. Поэтому они сами должны быть кубами, а так не бывает.

Понятна и причина того, что в "модификации" всё работает. И тогда подходит не только 6, но и много чего (например, 25, 62 и так далее).

ссылка

отвечен 14 Апр '17 17:48

@falcao , большое спасибо!

(16 Апр '17 23:33) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
2

Поскольку свойства рациональных чисел мне неочевидны, я решил чуть-чуть по-другому. Нужно получить такое $%z=m^2(m+1)=m^3+m^2$%, что $%m$% — натуральное число, $%z$% — куб целого неотрицательного. Но $%m^3$% меньше этого числа, а $%(m+1)^3$% — больше. Quod erat…

ссылка

отвечен 14 Апр '17 19:32

@abracadabra11 , большое спасибо!

(16 Апр '17 23:34) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,026
×792
×325
×206
×135

задан
14 Апр '17 17:02

показан
493 раза

обновлен
16 Апр '17 23:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru