|
Решить в целых неотрицательных числах уравнение: $$n!\cdot (n+1)!\cdot (n+2)!=k^3$$ задан 14 Апр '17 17:02 
Аллочка Шакед |
|
Тут вообще-то отрицательный ответ почти очевиден. Можно поделить на n!^3, и окажется, что (n+1)(n+1)(n+2) есть куб рационального числа. Делим ещё на (n+1)^3, получая, что (n+2)/(n+1) есть куб рационального. Но это соседние числа, они взаимно просты. Поэтому они сами должны быть кубами, а так не бывает. Понятна и причина того, что в "модификации" всё работает. И тогда подходит не только 6, но и много чего (например, 25, 62 и так далее). отвечен 14 Апр '17 17:48 
falcao @falcao , большое спасибо!
(16 Апр '17 23:33)
Аллочка Шакед
|
|
Поскольку свойства рациональных чисел мне неочевидны, я решил чуть-чуть по-другому. Нужно получить такое $%z=m^2(m+1)=m^3+m^2$%, что $%m$% — натуральное число, $%z$% — куб целого неотрицательного. Но $%m^3$% меньше этого числа, а $%(m+1)^3$% — больше. Quod erat… отвечен 14 Апр '17 19:32 
abracadabra11 @abracadabra11 , большое спасибо!
(16 Апр '17 23:34)
Аллочка Шакед
|
На первый взгляд, тут нет решений. Красивый пример получается, если левую часть домножить ещё на n+1. Тогда n=6 подходит.