Недавно встретил одну теорему (текст приведён ниже), которая кажется мне парадоксальной.

Любой отрезок $%[a; b]$% равномощен отрезку $%[0; 1]$%.
Взаимно однозначное соответствие между ними устанавливает формула $$y = (b − a) · x + a, где $$ $$ x \subset [0; 1] $$ $$ y \subset [a; b] $$

Я даже вывел опровержение.

Мощность множества A $$ \mid A \mid$$ Аксиома 1: $$ \mid A \cup B \mid = \mid A \mid + \mid B \mid - \mid A \cap B \mid $$ Аксиома 2: $$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, a < b < c \Rightarrow [a; c] = [a; b] \cup (b;c] $$ Аксиома 3: $$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, a < b < c \Rightarrow \mid [a; b] \cap (b; c] \mid = 0 $$ Аксиома 4: $$ \forall a,b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \mid (a; b] \mid \neq 0 $$ Тогда по предыдущей теореме: $$ \forall a \in \mathbb{R}, a > 1 \Rightarrow \mid [0; a] \mid = \mid [0; 1] \mid $$ $$ \mid [0; 1] \cup (1; a] \mid = \mid [0; 1] \mid $$ $$ \mid [0; 1] \mid + \mid (1; a] \mid - \mid [0; 1] \cap (1; a] \mid = \mid [0; 1] \mid $$ $$ \mid [0; 1] \mid = \mid [0; 1] \mid + \mid (1; a] \mid $$ $$ \begin{cases} (1; a] = 0 \\ (1; a] \neq 0 \end{cases} $$ Возникает противоречие, а значит теорема не верна.

А вы что скажете по этому поводу?

задан 14 Янв '13 23:18

изменен 15 Янв '13 12:14

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

И ещё такой вопрос. Недавно кто-то из вас писал о невозможности установить взаимнооднозначное соответствие между множествами комплексных и действительных чисел из-за того, что они имеют разные размерности. Так вот, следствие из этой теоремы равномощность квадрата и его стороны, и, как я понимаю, это распространяться и на данные множества. Или я ошибаюсь?

(15 Янв '13 9:17) Никита Конст...

Между множествами комплексных и действительных чисел МОЖНО установить взаимно однозначное соответствие. Однако оно не будет сохранять некоторые структуры. В частности, не будет непрерывным. Не сохранит оно и порядок чисел (тем более, что для комплексных чисел порядок не вводится).

(15 Янв '13 10:13) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ошибка в аксиоме 1. В таком виде она верна только для конечных множеств.
Впрочем это даже и не важно. Последнее рассуждение тоже неверно: мощности не числа, их нельзя сокращать. Бесконечность плюс бесконечность снова будет бесконечность, причем того же типа (вернее, того же типа, что более мощное из множеств).

Исходная теорема, конечно, парадоксальна, что не мешает ей быть верной. Кстати, как и любому другому парадоксальному утверждению (посмотрите смысл слова парадокс).

Думаю, прежде чем опровергать доказанные теоремы надо получше познакомиться с теорией.

ссылка

отвечен 14 Янв '13 23:50

изменен 14 Янв '13 23:55

Да, Вы правы. Но куда мне деться от полёта математической мысли? :) Спасибо за ответ.

(15 Янв '13 6:23) Никита Конст...
10|600 символов нужно символов осталось
0

Почитайте про трансфинитные числа. Сумма двух одинаковых трансфинитных чисел - это то же самое трансфинитное число. Поэтому Ваше предпоследнее равенство является тождеством, и из него ничего не следует.

ссылка

отвечен 15 Янв '13 4:14

Посмотрел. Ничего не понял. :) Буду на досуге разбираться. Спасибо за наводку.

(15 Янв '13 6:52) Никита Конст...

Если что-то будет непонятно - спрашивайте.

(15 Янв '13 18:16) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×211
×159
×26

задан
14 Янв '13 23:18

показан
2467 раз

обновлен
24 Апр '14 11:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru