доказательство - Взаимно однозначное соответствие между равномощными отрезками

Недавно встретил одну теорему (текст приведён ниже), которая кажется мне парадоксальной.

Любой отрезок $%[a; b]$% равномощен отрезку $%[0; 1]$%.
Взаимно однозначное соответствие между ними устанавливает формула $$y = (b − a) · x + a, где $$ $$ x \subset [0; 1] $$ $$ y \subset [a; b] $$

Я даже вывел опровержение.

Мощность множества A $$ \mid A \mid$$ Аксиома 1: $$ \mid A \cup B \mid = \mid A \mid + \mid B \mid - \mid A \cap B \mid $$ Аксиома 2: $$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, a < b < c \Rightarrow [a; c] = [a; b] \cup (b;c] $$ Аксиома 3: $$ \forall a,b,c \in \mathbb{R}, a < b < c \Rightarrow \mid [a; b] \cap (b; c] \mid = 0 $$ Аксиома 4: $$ \forall a,b \in \mathbb{R}, a < b \Rightarrow \mid (a; b] \mid \neq 0 $$ Тогда по предыдущей теореме: $$ \forall a \in \mathbb{R}, a > 1 \Rightarrow \mid [0; a] \mid = \mid [0; 1] \mid $$ $$ \mid [0; 1] \cup (1; a] \mid = \mid [0; 1] \mid $$ $$ \mid [0; 1] \mid + \mid (1; a] \mid - \mid [0; 1] \cap (1; a] \mid = \mid [0; 1] \mid $$ $$ \mid [0; 1] \mid = \mid [0; 1] \mid + \mid (1; a] \mid $$ $$ \begin{cases} (1; a] = 0 \\ (1; a] \neq 0 \end{cases} $$ Возникает противоречие, а значит теорема не верна.

А вы что скажете по этому поводу?