Определить область существования функции f(x) и исследовать её на непрерывность, если $$f(x)= \sum_{n=1}^ \infty \big(x+ \frac{1}{n} \big)^{n} $$

задан 16 Апр '17 10:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если $%x\ge1$%, то общий член не стремится к нулю, и ряд расходится. То же самое для $%x < -1$%. Отдельно рассмотрим случай $%x=-1$%. Здесь модуль $%n$%-го члена ряда равен $%(1-\frac1n)^n$%, что стремится к $%\frac1e$%, а не к нулю.

Пусть $%x\in(-1;1)$%. При этих условиях ряд сходится (ниже будет доказано более сильное утверждение).

Любую точку $%x\in(-1;1)$% можно поместить в отрезок $%[-q;q]$%, где $%0 < q < 1$% -- константа. Существует такая константа $%q_0\in(q;1)$% (можно взять $%q_0=(q+1)/2$%), что при достаточно больших $%n$% будут верны равенства $%|x+\frac1n| < q_0$% для всех $%x$% из $%[-q;q]$%. Получается, что на этом множестве функциональный ряд будет сходиться равномерно в силу признака Вейерштрасса. Поскольку частичные суммы непрерывны (это многочлены от $%x$%), ряд сходится к непрерывной функции. Поэтому $%f(x)$% непрерывна в любой точке $%x\in(-1;1)$%.

ссылка

отвечен 16 Апр '17 15:30

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,250
×675

задан
16 Апр '17 10:47

показан
321 раз

обновлен
16 Апр '17 15:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru