Доказать, что множество непрерывных функций равномощно множеству вещественных функций. Непонятно, как здесь биекцию строить.

задан 17 Апр '17 19:04

изменен 17 Апр '17 19:11

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь надо прежде всего исправить формулировку. Нет такого термина "вещественная функция". Если ему попытаться придать какой-то смысл, получится отображение из R в R. Но таких функций по мощности намного больше, чем непрерывных. Правильная формулировка -- множество непрерывных функций равномощно множеству вещественных чисел, то есть имеет мощность континуума. Идея доказательства: ясно, что мощность не меньше континуума (за счёт постоянных функций). Достаточно проверить, что она не больше -- тогда останется сослаться на теорему Кантора - Бернштейна. (Явный вид биекции строить не надо, так как это сложно, а теорема для того и нужна, чтобы этого избежать.)

Теперь надо вспомнить, что множество рациональных чисел всюду плотно на прямой. Если дана непрерывная функция, то она однозначно восстанавливается по своим значениям в рациональных точках. В самом деле, для любого числа x имеется последовательность рациональных чисел x(n), сходящаяся к x. Тогда f(x) равно пределу f(x(n)) в силу непрерывности.

Из предыдущего следует, что непрерывных функций не больше по мощности, чем отображений из Q в R. Так как Q счётно, оно равномощно N, а множество отображений из N в R имеет мощность R^N=(2^N)^N=2^{N x N}=2^N=R.

Здесь поочерёдно используется серия стандартных фактов о мощности множеств. Если все эти факты иметь в качестве "дежурных", любое такое рассуждение легко выстраивается.

ссылка

отвечен 17 Апр '17 21:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×751
×529
×55

задан
17 Апр '17 19:04

показан
661 раз

обновлен
17 Апр '17 21:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru