Расставляя по-разному скобки в выражении $%2:3:5:7:11:13$%, можно получить разные дроби.

а) Можно ли получить выражение $%(2\ast5\ast7)/(3\ast11\ast13)$%?

б) Сколько существует различных чисел, которые можно получить расстановкой скобок в этом выражении?

в) Найдите произведение всех таких чисел.

задан 19 Апр '17 18:05

изменен 19 Апр '17 23:47

falcao's gravatar image


253k23650

10|600 символов нужно символов осталось
0

а) Можно. Последние два раза делим на 11 и на 13. Перед этим должно быть $%2\cdot5\cdot7:3$%, то есть $%2:(3:(5\cdot7))$%. Итого подходит $%((2:((3:5):7)):11):13$%.

б) Общее число вариантов расстановки скобок равно соответствующему числу Каталана, то есть для шести сомножителей это будет 42. Но здесь число вариантов меньше, так как имеют место совпадения чисел для некоторых расстановок. Нетрудно понять, что 2 всегда попадает в числитель дроби, а 3 всегда попадает в знаменатель. Остальные числа можно распределить как угодно, что доказывается по индукции.

База индукции здесь очевидна: для одного сомножителя мы имеем $%x_1$%, а для двух будет $%\frac{x_1}{x_2}$%. Пусть сомножителей три или более. Мы уже знаем, что $%x_1$% всегда в числителе, $%x_2$% всегда в знаменателе (что, строго говоря, тоже обосновывается по индукции). Далее мы определяемся с тем, куда хотим поместить $%x_3$%. Если в числитель, то из формируем выражение из сомножителей от $%x_2$% до $%x_n$%, в котором $%x_2$% будет в числителе, $%x_3$% в знаменателе, а всё остальное -- где захотим. После этого мы делим $%x_1$% на это произведение, получая заказанную заранее картину. Если же мы хотим $%x_3$% поместить в знаменатель, то формируем выражение из $%x_3$%, ... , $%x_n$%, а затем делим на него $%(x_1:x_2)$%. При этом остальные сомножители можно разместить там, где это планировалось.

в) В каждой из 16 дробей у нас получается 2/3, а остальные сомножители равноправны, и они одинаковое число раз встречаются в числителях и знаменателях дробей. Поэтому они сократятся, и произведение будет равно $%(2/3)^{16}$%.

ссылка

отвечен 20 Апр '17 0:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×246

задан
19 Апр '17 18:05

показан
385 раз

обновлен
20 Апр '17 0:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru