Найти фокусы и директрисы равносторонней гиперболы 2xy=a^2

задан 19 Апр '17 23:44

изменен 20 Апр '17 20:19

1

ось гиперболы - это биссектриса первой-третьей четверти... её пересечение с гиперболой - вершина... расстояние от центра до вершины - действительная полуось...

дальше по формулам из учебника...

(19 Апр '17 23:49) all_exist

@Koval: если приводить уравнение к каноническому виду (что, наверное, не обязательно), надо знать метод Лагранжа. Из произведения должна получиться разность квадратов. Для этого надо применить преобразование x=(u+v)/sqrt(2) и y=(u-v)/sqrt(2), где u,v -- новые координаты. В каноническом уравнении должна присутствовать разность квадратов.

(20 Апр '17 18:54) falcao

@Koval: а я уже рассказал. Осталось понять, как всё решается. Надо сделать замену координат, получится каноническое уравнение. Далее по учебнику находим фокусы или директрисы (и я бы заодно исправил в условии "директивы", потому что если Вы их так назовёте, сдавая решение задачи, то за это явно не похвалят). После этого надо выразить то же самое в координатах u,v, а формулы перехода даны явно.

(20 Апр '17 19:28) falcao

@Koval: какой плюс? Вы путаете гиперболу и эллипс. Боюсь, что надо всё-таки почитать учебники хотя бы на уровне самых поверхностных сведений.

(20 Апр '17 19:52) falcao

@Koval: а что не получается с фокусами, если для них даны формулы?

(20 Апр '17 20:25) falcao

@falcao подскажите формулам из учебника должно быть фокусы равны $%(\pm c;0) $% в нашем случае получается $%c^2=a^2+b^2$% но у нас же $%a=b $% и тогда $%c^2=4a^2$% и фокусы будут $%(\pm 2a;0)$% но в ответе F_1 =(a,a) и F_2=(-a,-a), подскажите пожалуйста что я делаю не так.?

(20 Апр '17 20:46) Koval

@Koval: прежде всего, Вы совершаете арифметическую ошибку. При a=b мы имеем c=2a^2, что даёт координаты фокусов (+-a\sqrt2,0) в координатах u,v. Если через них выразить x,y по формулам из комментария выше, то и получится то, что должно было быть.

(20 Апр '17 20:58) falcao

директрисы - это прямые, параллельные мнимой оси, которые находится на расстоянии $%d=\frac{a^2}{c}$% от центра... мнимая ось имеет уравнение $%x+y=0$%... следовательно, искомые прямые имеют уравнения $%x+y\pm d\sqrt{2}=0$%...

(20 Апр '17 21:29) all_exist

я запутался какое мне с брать, если я беру с равное а то получаются неправильные директрисы, если беру с равные корень из 2 , то получаются верные. Но ведь это в других координатах? подскажите пожалуйста что мне делать?

(20 Апр '17 21:44) Koval

если я беру с равное а - такого не бывает...

Но ведь это в других координатах? - значения фокуса и полуосей не зависит от системы координат...

(20 Апр '17 22:13) all_exist

так мне брать с равное а sqrt 2? когда мы искали фокусы там же немного поменялось

(20 Апр '17 22:18) Koval

когда мы искали фокусы там же немного поменялось - что поменялось?...

(20 Апр '17 22:21) all_exist

@all_exist: координаты фокуса и уравнение директрисы в другой системе координат изменятся. Каноническое уравнение тут было в координатах u,v, а для исходной системы надо пересчитывать по формулам перехода.

(20 Апр '17 22:48) falcao

@falcao, я изначально писал всё в координатах $%Oxy$% и переход не делал... зачем?...

(20 Апр '17 22:54) all_exist

@Koval, чем Вас не устраивает моё полное решение этого вопроса?...

(20 Апр '17 23:05) all_exist

@all_exist я просто решал через те координаты и хотел довести решение до конца по вашему способу я не понял как найти мне а,в и с, что бы в дальнейшем найти остаьное

(20 Апр '17 23:06) Koval

@falcao если я беру $%c=a\sqrt {2}$% то получаю как в ответе директрисы $%x+y+\pm a=0$% но это в координатах u,v , объясните пожалуйста как мне считать это в координатах x,y

(20 Апр '17 23:09) Koval

@Koval, в координатах $%Ouv$% уравнение директрисы имеет вид $%u=\pm d$%...

(20 Апр '17 23:14) all_exist

@all_exist: при обсуждении в комментариях часто пропадает контекст. Тут смешались сразу два подхода. Выше обсуждался пусть через каноническое уравнение и применение готовых формул. Конечно, можно и без этого (я в итоге понял, что Вы решали напрямую).

(20 Апр '17 23:37) falcao

@falcao, я понимаю, что обсуждалось в комментариях... и формулами готовыми я тоже пользуюсь, только данные беру не из канонического уравнения, а из геометрического определения...

Предложенный Вами подход использует две системы координат - "старые" $%Oxy$% и "новые" $%Ouv$%... в своих комментариях я использую только "старые" координаты, так что мои комментарии не должны были сбивать с толку...

(21 Апр '17 5:32) all_exist
показано 5 из 20 показать еще 15
10|600 символов нужно символов осталось
1

Действительная ось гиперболы лежит на прямой $%x=y$%... пересечение этой прямой с гиперболой - это вершина гиперболы - точка $%A$%... $$ \begin{cases} 2xy=a^2\\ x=y \end{cases} \quad \Rightarrow \quad A\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\,;\;\frac{a}{\sqrt{2}}\right) $$ Расстояние от центра гиперболы (начала координат) до вершины - это действительная полуось... $$ |OA|=\sqrt{\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2}=a $$ Поскольку $%a=b$%, то $%c=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}=|OF|$% - расстояние от центра до фокуса... а поскольку фокус лежит на прямой $%x=y$%, то координаты фокуса - $%F(a;a)$%...

Про директрису я уже написал выше...

ссылка

отвечен 20 Апр '17 23:29

изменен 20 Апр '17 23:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,862

задан
19 Апр '17 23:44

показан
759 раз

обновлен
21 Апр '17 5:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru