1
1

По кругу сидят 100 детей: 50 мальчиков и 50 девочек. a) Докажите, что найдутся мальчик и девочка, между которыми сидят ровно шесть детей. б) Докажите, что найдутся мальчик и девочка, между которыми сидят ровно двое детей, причём это тоже мальчик и девочка

задан 20 Апр '17 17:30

10|600 символов нужно символов осталось
1

а) Рассуждаем от противного. Предположим, что это не так. Тогда через 6 человек от любого мальчика снова находится мальчик. Если мы занумеруем всех по кругу, то получится, что для мальчика с номером n, под номером n+7 также находится мальчик. В таких случаях удобно считать, что номер 101 -- это то же, что и номер 1, номер 102 -- то же, что 2, и так далее.

Суть здесь в том, что числа 7 и 100 взаимно просты. Поэтому здесь можно доказать, что все являются мальчиками, что противоречит условию. Можно вспомнить, что число 1001 делится на 7 (это произведение последовательных простых чисел 7, 11, 13). Если n-й по счёту мальчик, то мальчиками должны быть обладатели всех номеров n+7, n+14, n+21, ... , включая n+1001. Но это мальчик с номером n+1, то есть сосед. Получается, что если n-й -- это мальчик, то (n+1)-й тоже, и это для произвольного n. Значит, (n+2)-й также мальчик, и все вслед за ним, "по цепочке". Это даёт искомое противоречие.

б) Рассмотрим числа k, m, n, ..., расположенные по кругу, где k означает число подряд стоящих мальчиков, m -- число подряд стоящих девочек, n -- число идущих подряд мальчиков, и так далее. Предположим, что какие-то два из этих чисел, идущие друг за другом, больше единицы. Тогда мы имеем расположение ММДД или ДДММ, и оно нас устраивает. Теперь представим себе, что в списке чисел подряд идут две единицы. Им соответствует МД или ДМ, а по краям от них идут представители разного пола, что также удовлетворяет условию. Если ничего из сказанного не верно, то за числом 1 идёт число, большее 1, а за ним идёт 1, потом снова число, большее 1, и так далее. Но в этом случае единицам соответствуют представители одного и того же пола, и тогда оказывается, что представителей другого пола имеется больше. Но их поровну, что означает противоречие.

ссылка

отвечен 20 Апр '17 19:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,823

задан
20 Апр '17 17:30

показан
292 раза

обновлен
20 Апр '17 19:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru