Для каждой из нижеследующих групп G через H обозначается подгруппа ,порожденная заданными элементами. Показать что H нормальная и найти порядок G/H(фактор-группы) (a) < a,b;(a²)²,a²=b²=(ab)²> ; a² (b) < a,b;a²²,b^15,ab=ba³> ;a¹¹ Вот задание из книги пожалуйста помогите решать(b)

задан 20 Апр '17 19:22

10|600 символов нужно символов осталось
0

a) Элемент $%a^2$% группы $%G$% перестановочен как с $%a$%, что очевидно, так и с $%b$%, поскольку $%a^2=b^2$% в $%G$%. Значит, этот элемент принадлежит центру группы. Любая центральная подгруппа всегда нормальна, то есть $%H=\langle a^2\rangle$% будет нормальной. Это значит, что $%a^2$% можно добавить к списку определяющих соотношений, получая факторгруппу (общее утверждение, позволяющее так делать, иногда называют теоремой Дика; см. учебник Куроша по теории групп).

Получается группа $%G/H\cong\langle a,b\mid a^2=b^2=(ab)^2=1\rangle$%. Она была рассмотрена в предыдущей задаче. Это группа порядка 4 -- прямое произведение двух циклических групп порядка 2.

b) Элемент $%a^{11}$% перестановочен с $%a$%. Из соотношения $%ab=ba^3$% следует, что $%b^{-1}ab=a^3$%, откуда $%b^{-1}a^{11}b=a^{33}=a^{11}$% с учётом соотношения $%a^{22}=1$%. Значит, $%a^{11}$% перестановочен также с $%b$%, и тем самым является центральным. Как и выше, подгруппа $%H$%, порождённая им, нормальна. Тогда факторгруппа $%G/H$% задаётся соотношениями $%a^{11}=b^{15}=1$%, $%ab=ba^3$%. Мы знаем, что $%b^{-1}ab=a^3$%, откуда $%b^{-2}ab^2=b^{-1}a^3b=(b^{-1}ab)^3=a^9$%. Далее аналогичным образом получается $%b^{-3}ab^3=(a^9)^3=a^{27}=a^5$%, $%b^{-4}ab^4=a^{15}$%, $%b^{-5}ab^5=a^{45}=a$%. Отсюда следует, что сопряжение элементом $%b$% индуцирует автоморфизм пятого порядка циклической подгруппы $%\langle a\rangle$% порядка 11, заданный правилом $%a\mapsto a^3$%.

Из соотношения $%b^{-1}ab=a^3$% следует, что $%b^{-m}ab^{m}=a^{3^m}$%, а также $%b^{-m}a^kb^m=a^{k3^m}$%. В частности, $%a^kb^m=ba^{k3^m}$%, из чего следует, что любой элемент группы представим в виде произведения степени $%b$% и степени $%a$%. Тем самым, порядок факторгруппы не превосходит $%15\cdot11=165$%. Доказательство того, что он равен $%165$%, основано на построении примера группы такого порядка, удовлетворяющей всем соотношениям. Здесь нужно знать конструкцию полупрямого произведения. Надо рассмотреть действие $%\mathbb Z_5$% на $%\mathbb Z_{11}$% при помощи указанного автоморфизма, откуда получается гомоморфизм группы $%\mathbb Z_{15}$% в группу $%{\rm Aut}\mathbb Z_{11}$%. Он и задаёт требуемое полупрямое произведение.

Последнее может быть не до конца понятно, но проще это не объясняется. То есть тут надо почитать теорию, связанную с конструкцией полупрямого произведения (скажем, у М.Холла, или в учебнике Каргаполова и Мерзлякова).

ссылка

отвечен 20 Апр '17 21:13

b^{−3}ab^3=(a^9)³=a^27=a^5 Не поняла от куда следует что a^27=a^5, только не поняла откуда получили a^5?

(21 Апр '17 19:03) Седа

@Седа: бросается в глаза, что 27-5=22, а условие a^{22}=1 дано в условии. Это стандартная вещь с упрощением показателей степеней, если мы знаем порядок элемента. Тогда "большие" показатели можно заменять на остатки от деления.

Я стараюсь объяснять всё мало-мальски нетривиальное, чтобы читателю было легко, и чтобы ему не приходилось думать самому ("готовое блюдо", а не "полуфабрикат"). Но вещи такого уровня как работа с элементами конечного порядка я считал автоматически самоочевидными.

(21 Апр '17 22:15) falcao

Поняла, спасибо большое

(21 Апр '17 22:25) Седа
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×859
×63

задан
20 Апр '17 19:22

показан
395 раз

обновлен
21 Апр '17 22:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru