F=<a,b>,а N нормальная подгруппа в F порожденным a³,b²,(ab)² слов, помогите найти индекс N в F

задан 20 Апр '17 20:34

А как будет если в место (ab)² => aba^-1b^-1 сколько будет индекс, я получила 1 , но думаю что не правильно Решила таким образом a³=1,b²=1 ,aba^-1b^-1=a(bb^-1)a^-1=aa^-1 aa^-1~aa²~a³~1 получила только 1 значит индекс ровен 1 правильно подходила задаче?

(20 Апр '17 22:32) Седа

@Седа: если третье соотношение имеет вид aba^{-1}b^{-1}=1, то это значит, что ab=ba, и группа абелева. Тогда буквы можно переставлять, и любое слово имеет вид a^{k}b^{m}, где k=0,1,2, m=0,1. Индекс тут равен 6, а факторгруппа изоморфна Z_3 x Z_2 = Z_6.

Из Вашего рассуждения ничего не следует, потому что Вы получили то, что и так дано в условии. Индекс равен 1, если мы знаем, что a ~ 1 и b ~ 1, но это здесь не так.

(20 Апр '17 22:43) falcao

А если у меня aba^{-1}b и bab^{-1}a, то что получается?

(20 Апр '17 22:54) Седа

@Седа: каждый из этих вопросов нужно обсуждать отдельно. Вариантов тут можно придумать бесконечное количество. О каком списке соотношений в данном случае идёт речь? Сколько их? Всего два, или подразумеваются какие-то ещё? Если только эти два, то это даёт соотношения a^2=b^2=(ab)^2. Это похоже на то, что было раньше, но несколько сложнее, и такой вопрос надо отдельно обсуждать.

(20 Апр '17 23:14) falcao

Да только эти два , хорошо создаю новый вопрос для этой

(20 Апр '17 23:20) Седа
10|600 символов нужно символов осталось
0

Прежде всего, $%a^{-1}=a^2$%, $%b^{-1}=b$% в группе, поэтому от обратных элементов можно избавиться. Подслова $%a^3$%, $%b^2$% можно заменять на пустые. Любое слово будет эквивалентно произведению букв $%b$% и элементов вида $%a$%, $%a^2$%. Далее, $%ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba^2$%. Отсюда следует, что $%a^2b=aba^2=ba^4=ba$%. Таким образом, можно избавиться от подслов вида $%ab$% и $%a^2b$%. Это значит, что мы в итоге получим слово вида $%a^k$% или $%ba^k$%, где $%k=0,1,2$%. Таких слов всего 6. Значит, индекс $%N$% в свободной группе не больше 6. Но он также и не меньше, потому что отображение свободной группы в симметрическую группу $%S_3$%, заданное правилами $%a\mapsto(123)$%, $%b\mapsto(12)$% переводит все определяющие соотношения в единицу. Элемент $%ab$% перейдёт в $%(123)(12)=(23)$%, а транспозиция в квадрате равна единице. Тем самым, определён индуцированный гомоморфизм факторгруппы $%F/N$% на $%S_3$% (его сюръективность очевидна). Значит, индекс подгруппы не меньше 6. Из сказанного следует, что он равен 6, и что индуцированный гомоморфизм будет изоморфизмом. В частности, факторгруппа $%F/N$% изоморфна $%S_3$%.

ссылка

отвечен 20 Апр '17 20:54

Спасибо за такой подробный ответ)если что то будет не понятно обращусь к вам)

(20 Апр '17 21:14) Седа
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×861
×63

задан
20 Апр '17 20:34

показан
491 раз

обновлен
20 Апр '17 23:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru