Пусть F- свободная группа, порожденная a1,a2,....,an и N множество слов W из F,в каждом из которых сумма показателей по a1 кратна фиксированному положительному целому d.Показать что N образует в F нормальную подгруппу индекса d.Показать что N подгруппа, порождаемая элементом а1^d и всеми a1^kaĵa1^{-k}, где ĵ=2,...,n и 0≤k<d.[ указание. Как нормальная подгруппа,N порождается элементами a1^d,a2,...,an и их сопряженными]

задан 20 Апр '17 23:09

10|600 символов нужно символов осталось
0

Применим теорему о гомоморфизмах. Рассмотрим отображение свободной группы в $%\mathbb Z_d$%, которое каждому слову сопоставляет алгебраическую сумму показателей степеней при образующем $%a_1$%, взятую по модулю $%d$%. Очевидно, что это гомоморфизм, причём сюръективный. Ядро его в точности равно $%N$%, согласно условию. Отсюда следует, что $%N$% -- нормальная подгруппа в $%F$%. По теореме о гомоморфизмах, $%F/N$% изоморфна $%\mathbb Z_d$%, то есть индекс равен $%d$%.

Теперь о порождающих подгруппы $%N$%. Это вещь не такая сложная, но не хочется писать слишком много длинных формул. Пусть дано слово $%w$% от образующих, представляющее элемент из $%N$%. Сумма показателей степеней при $%a_1$% кратна $%d$%. Пусть она равна $%dm$%. Тогда $%w=(a_1^d)^mv$%, где $%v$% есть слово с суммой показателей степеней при $%a_1$%, равной нулю.

Представим $%v$% в виде произведения степеней $%a_1$% и степеней остальных порождающих. Можно положить $%v=a_1^{d_0}a_{j_1}^{r_1}a_1^{d_1}...a_{j_n}^{r_n}a_1^{d_n}$%, где $%j_1,...,j_n > 1$% и $%d_0+\cdots+d_n=0$%. Положим $%s_0=d_0$%, $%s_1=d_0+d_1$%, ... , $%s_n=d_0+d_1+\cdots+d_n=0$%. Перепишем слово $%v$% в виде $%(a_1^{s_0}a_{j_1}^{r_1}a_1^{-s_0})(a_1^{s_1}a_{j_2}^{r_2}a_1^{-s_1})...(a_1^{s_{n-1}}a_{j_n}^{r_n}a_1^{-s_{n-1}})$%. Это не что иное как произведение степеней элементов вида $%a^ka_ja^{-k}$%, где $%j > 1$%. Осталось заметить, что $%k$% можно поделить с остатком на $%d$%, получая $%k=dq+r$%, где $%0\le r < d$%. Тогда элементы $%a^ka_ja^{-k}$% запишутся в виде $%(a_1^d)^q\cdot a_1^ra_ja_1^{-r}\cdot(a_1^d)^{-q}$%, то есть они выражаются через элементы, указанные в условии. Это и значит, что группа $%N$% порождается ими как подгруппа.

ссылка

отвечен 20 Апр '17 23:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×860
×63

задан
20 Апр '17 23:09

показан
423 раза

обновлен
20 Апр '17 23:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru