F=<a,b>,а N нормальная подгруппа в F порожденным aba^{-1}b,bab^{-1}a слов, помогите найти индекс N в F

задан 20 Апр '17 23:23

@Седа: почему-то здесь уже в который раз используются не те окончания слов. Должно быть примерно следующее: "N -- нормальная подгруппа в F, порождённая словами aba^{-1}b, bab^{-1}a". Сам пример сейчас разберу.

(20 Апр '17 23:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Группа задана образующими $%a$%, $%b$% и двумя определяющими соотношениями, которые можно представить в виде $%aba=b$%, $%bab=a$%. Это равносильно тому, что $%a^2=b^2=(ab)^2$%. Похожий пример, когда эти слова дополнительно равнялись 1, уже был в одной из задач. Там индекс был равен 4. Здесь же он бесконечен. Действительно, положим $%c=a^2=b^2=(ab)^2$%. Получим центральный элемент группы. Он порождает нормальную циклическую подгруппу, факторгруппа по которой имеет порядок 4. Достаточно проверить, что сам этот элемент имеет бесконечный порядок. Тогда $%F/N$% окажется бесконечной.

Всякий элемент группы можно представить в виде $%c^na^kb^m$%, где $%n$% целое, $%k,m\in\{0;1\}$%. При этом понятно, как элементы $%a$% и $%b$% действуют на таких выражениях при умножении слева. Достаточно рассмотреть небольшое число случаев. Элемент $%c^n$% в начале можно не рассматривать. Тогда $%1\cdot a=a$%, $%a\cdot a=a^2=c$%, $%b\cdot a=ab^{-1}=abb^{-2}=abc^{-1}=c^{-1}ab$%, $%ab\cdot a=b$%. Аналогично выписываются формулы для умножения справа на $%b$%. Тогда на множестве $%S$% описанных выше слов (которые можно считать упорядоченными тройками вида $%(n,k,m)$%) задаётся два отображения $%\hat{a}$% и $%\hat{b}$%. Проверяется, что эти отображения $%S$% в себя являются подстановками, и они в группе подстановок $%{\rm Sym}(S)$% порождают подгруппу, которая изоморфна рассматриваемой группе. Это будет центральное расширение бесконечной циклической группы при помощи конечной группы $%\mathbb Z_2\times\mathbb Z_2$%.

Без проверок здесь, к сожалению, не обойтись, но предлагаемый способ (метод Артина - ван дер Вардена) является в этом смысле одним из наиболее простых. Внешняя конструкция с определением операции на множестве троек ведёт к необходимости проверять ассоциативный закон и прочее, а это дело очень долгое.

ссылка

отвечен 21 Апр '17 0:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×915
×69

задан
20 Апр '17 23:23

показан
657 раз

обновлен
21 Апр '17 0:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru