Пусть a - положительное иррациональное число. Можно ли найти такие x и y, что выражение x<{na}<y верно при любых натуральных n. {m} - дробная часть числа m, 0<x,y<1

задан 21 Апр '17 8:30

изменен 21 Апр '17 8:37

Хорошо известно, что для иррационального a множество чисел вида {na} всюду плотно на интервале (0;1). То есть таких x,y не найдётся. Доказательство основано на принципе Дирихле. В этой статье из "Кванта" можно найти доказательство несколько более сильного факта.

(21 Апр '17 9:20) falcao

@falcao в этой статье вроде нет доказательства данного утверждения.

(21 Апр '17 10:37) Reyg

@Reyg: там доказано нечто намного более сильное. Возьмём промежуток [x,y]. Он имеет длину h=y-x < 1. Вероятность того, что числа {na} в него попадут, равна h. Она строго меньше 1. Значит, не все числа попадут. Но вообще-то для более слабого утверждения, которое в условии, рассуждение намного проще. Оно прямо выводится из принципа Дирихле. На форуме в разных видах это не раз встречалось. Я потом могу или ссылку найти, или кратко повторить основные аргументы.

(21 Апр '17 12:26) falcao

@falcao был бы благодарен.

(21 Апр '17 12:42) Reyg
10|600 символов нужно символов осталось
2

Ссылку сейчас, пожалуй, очень трудно найти -- задача могла быть сформулирована в какой-то занимательной форме, и я не помню, какие в точности слова там использовались. Но суть очень простая. Нам дано иррациональное число a. Мы рассматриваем дробные части чисел a, 2a, ... , na, ... . Можно считать, что все они лежат на окружности единичной длины. Требуется показать, что они на ней всюду плотны, то есть для любого сколько угодно малого по длине интервала, точки такого вида туда попадут.

Пусть h -- длина интервала. Выберем n > 1/h. Разобьём единичный отрезок (окружность) на n равных частей. По принципу Дирихле, две дробные части вида {ka}, {ma} попадут в одну секцию для некоторых k < m. При этом не может быть равенства, так как из {ka}={ma} следовала бы рациональность a.

Из сказанного следует, что при увеличении n на величину m-k, точка {na} смещается по окружности в одном из направлений на положительное расстояние {ma}-{ka}<=1/n < h. Если отслеживать эти положения точки, когда она через несколько шагов смещается на малое расстояние в некотором направлении, то понятно, что она не сможет перескочить через слишком широкую "ямку" длиной h, и в какой-то момент обязательно туда упадёт.

ссылка

отвечен 21 Апр '17 18:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×216
×58

задан
21 Апр '17 8:30

показан
797 раз

обновлен
21 Апр '17 18:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru