Иррациональные числа

Ссылку сейчас, пожалуй, очень трудно найти -- задача могла быть сформулирована в какой-то занимательной форме, и я не помню, какие в точности слова там использовались. Но суть очень простая. Нам дано иррациональное число a. Мы рассматриваем дробные части чисел a, 2a, ... , na, ... . Можно считать, что все они лежат на окружности единичной длины. Требуется показать, что они на ней всюду плотны, то есть для любого сколько угодно малого по длине интервала, точки такого вида туда попадут.

Пусть h -- длина интервала. Выберем n > 1/h. Разобьём единичный отрезок (окружность) на n равных частей. По принципу Дирихле, две дробные части вида {ka}, {ma} попадут в одну секцию для некоторых k < m. При этом не может быть равенства, так как из {ka}={ma} следовала бы рациональность a.

Из сказанного следует, что при увеличении n на величину m-k, точка {na} смещается по окружности в одном из направлений на положительное расстояние {ma}-{ka}<=1/n < h. Если отслеживать эти положения точки, когда она через несколько шагов смещается на малое расстояние в некотором направлении, то понятно, что она не сможет перескочить через слишком широкую "ямку" длиной h, и в какой-то момент обязательно туда упадёт.