теория-вероятностей - Проверка свойств х.ф.

Критерий включает в себя ещё кое-какие свойства (модуль функции всюду не превосходит 1, функция непрерывна и т.п.), но проверять положительную определённость действительно трудно. Обычно делают так: если ответ положительный, то подбирают соответствующее распределение. Для пункта б) будет $%\cos^2t=\frac12+\frac12\cos2t=\frac12e^{0it}+\frac14(e^{2it}+e^{-2it})$%, то есть перед нами х.ф. дискретной с.в., принимающей значения 0, 2, -2 с вероятностями 1/2, 1/4, 1/4 соответственно. Иногда из двух уже имеющихся х.ф. составляют их выпуклую линейную комбинацию, которая также является х.ф.

Если ответ отрицательный, то находят какое-то необходимое условие, которое не выполняется. В пункте а) это будет свойство равномерной непрерывности характеристической функции на всей числовой прямой. См. доказательство здесь, стр.14, пункт 3.8.

Функция из пункта а) не будет равномерно непрерывна на прямой. Действительно, если мы возьмём два значения $%x_n=\sqrt{2\pi n}$% и $%y_n=\sqrt{\frac{\pi}2+2\pi n}$%, то разница между значениями функции будет равна 1, а разница между значениями аргумента может быть сделана сколь угодно малой: $%y_n-x_n\to0$% при $%n\to\infty$%.

Теперь по поводу пункта в). Известно, что если модуль случайной величины имеет $%k$%-й момент, то х.ф. на всей числовой прямой $%k$% раз непрерывно дифференцируема, и $%k$%-я производная в нуле вычисляется по известной формуле. Для моментов чётного порядка верно обратное: из существования $%\varphi''(0)$% следует существование второго момента, а из него -- принадлежность классу $%C^2(\mathbb R)$%. В данном примере у функции $%\sqrt{1-t^2}$% вторая производная в нуле существует (она равна $%-1$%), но в точках $%x=\pm1$% нет дифференцируемости, поэтому функция не будет характеристической.

Есть также "кустарные" способы типа разложения функции в ряд Фурье по косинусам, где некоторые из коэффициентов оказываются отрицательными.