alt text

Где-то я видела теорему, согласно которой, если $%\phi(0)=1$%, то $%\phi(t)$% -- х.ф. $%<=>$% $%\phi(t)$% -- положительно определена. Исследование на положительную определенность по определению я не понимаю, как провести (точнее, само определение видела, но как к нему подступиться -- не ясно)

задан 21 Апр '17 15:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

Критерий включает в себя ещё кое-какие свойства (модуль функции всюду не превосходит 1, функция непрерывна и т.п.), но проверять положительную определённость действительно трудно. Обычно делают так: если ответ положительный, то подбирают соответствующее распределение. Для пункта б) будет $%\cos^2t=\frac12+\frac12\cos2t=\frac12e^{0it}+\frac14(e^{2it}+e^{-2it})$%, то есть перед нами х.ф. дискретной с.в., принимающей значения 0, 2, -2 с вероятностями 1/2, 1/4, 1/4 соответственно. Иногда из двух уже имеющихся х.ф. составляют их выпуклую линейную комбинацию, которая также является х.ф.

Если ответ отрицательный, то находят какое-то необходимое условие, которое не выполняется. В пункте а) это будет свойство равномерной непрерывности характеристической функции на всей числовой прямой. См. доказательство здесь, стр.14, пункт 3.8.

Функция из пункта а) не будет равномерно непрерывна на прямой. Действительно, если мы возьмём два значения $%x_n=\sqrt{2\pi n}$% и $%y_n=\sqrt{\frac{\pi}2+2\pi n}$%, то разница между значениями функции будет равна 1, а разница между значениями аргумента может быть сделана сколь угодно малой: $%y_n-x_n\to0$% при $%n\to\infty$%.

Теперь по поводу пункта в). Известно, что если модуль случайной величины имеет $%k$%-й момент, то х.ф. на всей числовой прямой $%k$% раз непрерывно дифференцируема, и $%k$%-я производная в нуле вычисляется по известной формуле. Для моментов чётного порядка верно обратное: из существования $%\varphi''(0)$% следует существование второго момента, а из него -- принадлежность классу $%C^2(\mathbb R)$%. В данном примере у функции $%\sqrt{1-t^2}$% вторая производная в нуле существует (она равна $%-1$%), но в точках $%x=\pm1$% нет дифференцируемости, поэтому функция не будет характеристической.

Есть также "кустарные" способы типа разложения функции в ряд Фурье по косинусам, где некоторые из коэффициентов оказываются отрицательными.

ссылка

отвечен 21 Апр '17 17:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,956

задан
21 Апр '17 15:28

показан
333 раза

обновлен
21 Апр '17 17:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru