Коммутантом G’группы G, где G=<a,b,c,...;P,Q,R,...>, называется нормальная подгруппа в G, порожденная коммутаторами aba^{-1}b{-1},aca{-1}c{-1},...,bcb{-1}c{-1},... Показать, что G/N абелева тогда и только тогда, когда G‘ лежит в N. [Указание.использовать теорему (1) Теорема.Пусть G=<a,b,c,...;P,Q,R,...> порожденная элементами S(g,h,k,..), T(g,h,k,..),... Тогда фактор-группа G/N имеет представление <a,b,c,...;P,Q,R,...,S,T,...> относительно отображения a→gN,b→hN,c→kN,...]

задан 21 Апр '17 17:39

Это очевидный факт, и никаких теорем тут применять не надо. Если G/N абелева, то любые два смежных класса перестановочны, то есть xNyN=yNxN для любых x,y из G. Это равносильно условию xyN=yxN, а оно равносильно тому, что x^{-1}y^{-1}xyN=N, то есть коммутатор x^{-1}y^{-1}xy принадлежит N. Значит, если G/N абелева, то N содержит все коммутаторы, а потому и коммутант. Обратное доказывается так же точно: если N содержит коммутат, то содержит и все коммутаторы. В частности, тот, о котором шла речь выше. Но тогда xN и yN коммутируют, то есть факторгруппа абелева.

(21 Апр '17 18:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×869
×63

задан
21 Апр '17 17:39

показан
329 раз

обновлен
21 Апр '17 18:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru