Доказать что многочлен f(x) = x^p^l - x - a неприводим над Fp

задан 21 Апр '17 22:55

изменен 21 Апр '17 22:59

В латинском алфавите есть много подходящих букв: n, k, m и так далее. Буква l ("эль") здесь самая неудачная: она читается в виде "палки", путается с единицей и с заглавной английской "ай".

Доказать что многочлен $%f(x)=x^{p^n}-x-a$% неприводим над $%F_p$% -- так ведь лучше смотрится, правда?

(21 Апр '17 23:36) falcao

Да, определенно так лучше

(21 Апр '17 23:39) VolodyaSesc

@VolodyaSesc: ко всему прочему, здесь не сказано, что такое a. Видимо, это элемент основного поля, но если он равен 0, то многочлен приводим.

(21 Апр '17 23:45) falcao

@falcao: ага, это элемент основного поля не равный нулю

(22 Апр '17 0:03) VolodyaSesc
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я собираюсь воспользоваться следующим достаточно известным фактом (при необходимости я его докажу, хотя, возможно легче найти ссылку на учебник):

Неприводимый многочлен $%g(x)$% степени $%k$% делит многочлен $%x^{p^n}-x$% в кольце $%\mathbb{F}_p[x]$% тогда и только тогда, когда $%k$% делит $%n$%.

Пусть $%f(x)=x^{p^n}-x-a\in\mathbb{F}_p[x]$% неприводим в $%\mathbb{F}_p[x]$%, тогда $%\mathbb{F}_p[x]/(f(x))$% есть поле, причем $%\overline{x}=x+(f(x))$% есть корень многочлена $%f(X)=X^{p^n}-X-a$% в этом поле.

Покажем, что $%\overline{x}$% есть корень многочлена $%X^{p^{pn}}-X$%. Заметим, что:

$$\overline{x}^{p^{kn}} = \left (\overline{x}^{p^{n}} \right )^{p^{kn-n}}=\left ( \overline{x}+a \right )^{p^{(k-1)n}}=\overline{x}^{p^{(k-1)n}}+a^{p^{(k-1)n}}=\overline{x}^{p^{(k-1)n}}+a.$$ Значит проделав так k раз мы получим: $$\overline{x}^{p^{kn}} = \overline{x}+ka,$$

следовательно $%\overline{x}^{p^{pn}}=\overline{x}+pa=\overline{x}$%, а это и означает, что $%\overline{x}$% есть корень $%X^{p^{pn}}-X$%. Из этого легко следует, что $%f(x)$% делит $%x^{p^{pn}}-x$% в $%\mathbb{F}_p[x]$%. По вышеупомянутому факту мы получаем, что $%p^{n}$% делит $%np$%. Это возможно лишь при $%n=0$% (это не интересно), $%n=1$% и $%n=2$%, $%p=2$%.

При $%n=2$%, $%p=2$% многочлены $%x^4-x-a$% можно исследовать над $%\mathbb{F}_2$% простым перебором.

Вот со случаем $%n=1$% приводим ли многочлен $%x^p-x-a$% над $%\mathbb{F}_p$% я подумаю завтра, но мне кажется, что это какой-то очень известный вопрос.

ссылка

отвечен 22 Апр '17 2:48

изменен 22 Апр '17 3:04

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×415
×241

задан
21 Апр '17 22:55

показан
1347 раз

обновлен
22 Апр '17 3:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru