кривые - Дифференциальная геометрия

Выразим $%y$% через $%x$% явно для обоих случаев в окрестности точки $%A$%. Получатся две функции $%y_1=3-\sqrt{-1-x^2+6x}$% и $%y_2=x-4\sqrt{x}+4$%. Теперь можно найти значения производных обеих функций в точке $%x=1$%, и проверить, до какого порядка они совпадают. Но это, скорее всего, долго, поэтому проще сделать замену переменной $%t=x-1$% и разложить функции по формуле Тейлора в окрестности нуля.

Для первой функции получается $%y_1(t)=3-\sqrt{4+4t-t^2}=3-2\sqrt{1+t-\frac14t^2}$%, где разложение имеет вид $%1-t+\frac12t^2-\frac14t^3-\frac3{16}t^4+o(t^4)$% (промежуточные вычисления я опускаю; это всё при необходимости пересчитывается). Для второй функции будет $%y_2(t)=5+t-4\sqrt{1+t}=1-t+\frac12t^2-\frac14t^3+\frac5{32}t^4+o(t^4)$%. Итого порядок соприкосновения равен $%3$%.