Доказать, что фактор-кольцо Z[i]/3Z есть поле из 9 элементов

задан 22 Апр '17 19:40

10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь надо сначала исправить условие. Дело в том, что $%3\mathbb Z$% является подкольцом, но не идеалом в $%\mathbb Z[i]$%, поэтому факторкольцо рассматривать нельзя. Чтобы было можно, надо рассмотреть главный идеал, порождённый элементом $%3$%, который можно обозначить в виде $%(3)$% или в виде $%3\mathbb Z[i]$%.

Элемент $%3$% является простым в кольце гауссовых чисел, поскольку это простое число, не представимое в виде суммы двух квадратов. В кольце главных идеалов, каковым является $%\mathbb Z[i]$%, это даёт максимальный главный идеал, факторкольцо по которому является полем.

Представителями смежных классов по идеалу $%(3)$% являются элементы вида $%a+bi$%, где $%a,b\in\{0,1,2\}$%. Таких элементов ровно 9. На этом множестве можно рассмотреть обычные операции сложения и умножения, где коэффициенты рассматриваются по модулю 3. Это не что иное как поле разложения многочлена $%x^2+1$%, неприводимого над $%\mathbb Z_3$%.

ссылка

отвечен 22 Апр '17 21:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×154

задан
22 Апр '17 19:40

показан
646 раз

обновлен
22 Апр '17 21:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru