Как построить две параллельные хорды, проходящие через две данные точки окружности так, чтобы их сумма равнялась данному отрезку?

задан 22 Апр '17 21:46

10|600 символов нужно символов осталось
0

Предположим, что окружность имеет единичный радиус... (можно нормировать, если дан единичный отрезок, а проще считать, что радиус данной окружности и есть единичный отрезок) ... Пусть $%L$% - суммарная длина хорд (заданная величина)...

Рассмотрим систему координат так, начало которой находится в центре окружности, ось икс проходит через точку $%A$%... и не уменьшая общности можно считать, что точка $%B$% имеет неотрицательную координату игрек... Итого, $%A(1;0)$%, $%B(\cos\alpha;\;\sin\alpha)$%, где $%\alpha\in(0;\pi]$%...

Понятно, что через середины искомых хорд проходит диаметр, который будет перпендикулярен этим хордам...
Рассмотрим диаметр, который образует с осью икс угол $%\varphi\in[0;\pi)$%... тогда перпендикуляры, опущенные из точек $%A$% и $%B$% на диаметр, имеют длины $%\sin\varphi$% и $%|\sin(\alpha-\varphi)|$% ... Таким образом, нас интересует диаметр, для которого выполнено равенство $$ 2\sin\varphi + 2|\sin(\alpha-\varphi)|=L $$ Раскрывая модуль и расписывая синус разности, получим $$ \sin\varphi \pm (\sin\alpha\cdot\cos\varphi - \cos\alpha\cdot\sin\varphi )=\frac{L}{2} $$ $$ (1 \mp \cos\alpha)\cdot\sin\varphi \pm \sin\alpha\cdot\cos\varphi = \frac{L}{2} $$ Заметим, что в левой части уравнения стоит скалярное произведение вектора $%\bar{n}=(\sin\varphi ;\;-\cos\varphi)$% - нормаль к диаметру, и вектора $$ \bar{m}=\overline{OA}\pm\overline{OB} = \big(1 \pm \cos\alpha;\; \pm \sin\alpha\Big) $$ Поскольку $%|\bar{n}|=1$%, то скалярное произведение $%\bar{m}\cdot\bar{n}=|\bar{m}|\cdot\cos\widehat{\bar{m}\bar{n}}$% - равно длине проекции вектора $%\bar{m}$% на $%\bar{n}$%...

Осталось напомнить, что нормаль к диаметру параллельна искомым хордам... и выполнить построение, которое описано @falcao, только не для одно отрезка, а для двух ...
То есть на векторах $%\overline{OA}\pm\overline{OB}$%, выпущенных из точки $%O$%, строим окружности как на диаметрах... Проводим окружность радиуса $%\frac{L}{2}$% с центром в точке $%O$% ... точки пересечения этой окружности с двумя построенными ранее дадут направление искомых хорд...

=======================================================

ПЫ.СЫ.: Случай $%\bar{m}=\overline{OA}+\overline{OB}$% получен @falcao из геометрических построений ... и должен соответствовать случаю, когда $%AB$% - боковая сторона равнобочной трапеции... но я нарисовал картинки и получилось наоборот...

alt text alt text

Спрашивается где я накосячил?... (((

ссылка

отвечен 23 Апр '17 1:52

изменен 23 Апр '17 2:32

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$$$ $%1. \ \ 2\cdot AB \ \cos(\alpha)\le CD \le 2\cdot AB\ ctg(\alpha)$%

alt text

$$CD= C_1D_1\ , \ AB=A_1B_1 \ , \ A_1D_2 \parallel C_1D1 $$

$$C_1B_1+A_1D_2=CD$$

$%2.\ \ 2\cdot AB \ \cos(\alpha)\le CD \le 2\cdot AB$%

alt text

$$CD=C_1D_1\ , \ EB=E_1B_1 \ ,\ A_1D_2 \parallel C_1D_1$$

$$C_1B_1+A_1D_2=CD$$

ссылка

отвечен 23 Апр '17 23:59

изменен 24 Апр '17 23:51

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть A, B -- точки окружности. Предположим, что параллельные хорды AC, BD уже проведены. Продолжим луч AC за точку C и отложим на нём точку E, для которой CE=BD. Получится параллелограмм BCED, центр M которого является общей серединой отрезков CD и BE.

Обозначим через K середину отрезка AB. Тогда KM будет средней линией треугольника BAE, и её длина равна половине длине отрезка AE, равного сумме длин хорд. Пусть L есть середина KM, и O -- центр окружности. Тогда OL -- диаметр, так как трапеция равнобочная. При этом угол OLK прямой, и KL=a/4, где a -- суммарная длина хорд.

Теперь ясно, какие построения надо провести. Отмечаем точку K, и строим на OK как на диаметре окружность. Теперь проводим окружность с центром K радиусом a/4 и находим её точки пересечения с предыдущей окружностью. Если их нет, то есть a > 4KO, то построение невозможно. Если точек пересечения две, то нам годится любая из них, так как получаются два симметричных друг другу построения. Точку пересечения обозначаем L, и тогда KL даёт направление хорд.

ссылка

отвечен 22 Апр '17 22:45

1

@falcao, а если $%AB$% будет не боковой стороной, а диагональю?...

(22 Апр '17 23:16) all_exist

@all_exist: этот случай я не рассмотрел. Надо будет потом добавить.

(22 Апр '17 23:31) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,924
×44

задан
22 Апр '17 21:46

показан
946 раз

обновлен
24 Апр '17 23:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru