Известно, что ABCD - ромб и радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD соответственно, равны R и r. Найдите площадь ромба ABCD.

задан 23 Апр '17 9:46

Отношения диагоналей могу найти, не больше(

(23 Апр '17 12:12) fsdSSSS
10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно решать задачу в обратную сторону. Пусть мы знаем всё про ромб (например, даны половины длин диагоналей $%a$%, $%b$%). Как найти соответствующие радиусы описанных окружностей?

Если нам дан равнобедренный треугольник с боковой стороной $%x$%, основанием $%y$% и высотой $%h$%, то удвоенная площадь выражается как $%2S=yh=x^2\sin\phi$%, где $%\phi$% -- угол при вершине. Мы также знаем, что $%y=2\rho\sin\phi$%, где $%\rho$% -- радиус описанной окружности. Отсюда следует формула $%\rho=\frac{y}{2\sin\phi}=\frac{x^2}{2h}$%. Её далее и применим.

Для треугольника $%ABC$% у нас будет $%R=\frac{a^2+b^2}{2a}$%, и для $%ABD$% получится $%r=\frac{a^2+b^2}{2b}$%. Решая систему, имеем $%a=\frac{2Rr^2}{R^2+r^2}$% и $%b=\frac{2R^2r}{R^2+r^2}$%. Площадь ромба равна $%2ab=\frac{8R^3r^3}{(R^2+r^2)^2}$%.

ссылка

отвечен 23 Апр '17 13:53

изменен 23 Апр '17 13:54

@falcao А как доказать, что дискриминант у обоих уравнений положителен?

(26 Апр '17 13:34) fsdSSSS

@fsdSSSS: у меня здесь нет квадратных уравнений и дискриминантов. Доказывать ничего не нужно.

(26 Апр '17 14:18) falcao

@falcao а как Вы так хитро систему решили?

(26 Апр '17 14:50) fsdSSSS

@fsdSSSS: уравнения там получаются линейные. Решал я обычным методом исключения неизвестных. Поскольку aR=br, можно выразить b=aR/r и подставить в условие a^2+b^2=2aR. В правой части будет множитель a^2. После сокращения на a получаем значение a в виде дроби. Я это всё опустил как раз потому, что тут нет ничего хитрого.

(26 Апр '17 18:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если $%BD=2a$%, $%AC=2b$%, $%\angle A = 2\alpha$%, $%\angle B = 2\beta$%, то применяя теорему синусов к треугольникам $%ABC$% и $%ABD$% получаем, что $$ \frac{2\cdot a}{\sin 2\alpha} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sin \beta} = 2\cdot R, \quad \frac{2\cdot b}{\sin 2\beta} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sin \alpha} = 2\cdot r $$ Из двух последних равенств с учётом того, что $%\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$%, получаем $$ \text{tg}\,\alpha=\frac{R}{r}, \quad \text{tg}\,\beta=\frac{r}{R} $$ Площадь ромба равна $$ S=2ab=2\cdot R\cdot r\cdot\sin2\alpha\cdot\sin2\beta =
2\cdot R\cdot r\cdot\frac{2\cdot\text{tg}\,\alpha}{1+\text{tg}^2\,\alpha}\cdot\frac{2\cdot\text{tg}\,\beta}{1+\text{tg}^2\,\beta} = \ldots $$

ссылка

отвечен 23 Апр '17 22:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,704

задан
23 Апр '17 9:46

показан
881 раз

обновлен
26 Апр '17 18:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru