|
Известно, что ABCD - ромб и радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD соответственно, равны R и r. Найдите площадь ромба ABCD. задан 23 Апр '17 9:46 
fsdSSSS |
|
Можно решать задачу в обратную сторону. Пусть мы знаем всё про ромб (например, даны половины длин диагоналей $%a$%, $%b$%). Как найти соответствующие радиусы описанных окружностей? Если нам дан равнобедренный треугольник с боковой стороной $%x$%, основанием $%y$% и высотой $%h$%, то удвоенная площадь выражается как $%2S=yh=x^2\sin\phi$%, где $%\phi$% -- угол при вершине. Мы также знаем, что $%y=2\rho\sin\phi$%, где $%\rho$% -- радиус описанной окружности. Отсюда следует формула $%\rho=\frac{y}{2\sin\phi}=\frac{x^2}{2h}$%. Её далее и применим. Для треугольника $%ABC$% у нас будет $%R=\frac{a^2+b^2}{2a}$%, и для $%ABD$% получится $%r=\frac{a^2+b^2}{2b}$%. Решая систему, имеем $%a=\frac{2Rr^2}{R^2+r^2}$% и $%b=\frac{2R^2r}{R^2+r^2}$%. Площадь ромба равна $%2ab=\frac{8R^3r^3}{(R^2+r^2)^2}$%. отвечен 23 Апр '17 13:53 
falcao @fsdSSSS: у меня здесь нет квадратных уравнений и дискриминантов. Доказывать ничего не нужно.
(26 Апр '17 14:18)
falcao
@fsdSSSS: уравнения там получаются линейные. Решал я обычным методом исключения неизвестных. Поскольку aR=br, можно выразить b=aR/r и подставить в условие a^2+b^2=2aR. В правой части будет множитель a^2. После сокращения на a получаем значение a в виде дроби. Я это всё опустил как раз потому, что тут нет ничего хитрого.
(26 Апр '17 18:59)
falcao
|
|
Если $%BD=2a$%, $%AC=2b$%, $%\angle A = 2\alpha$%, $%\angle B = 2\beta$%, то применяя теорему синусов к треугольникам $%ABC$% и $%ABD$% получаем, что
$$
\frac{2\cdot a}{\sin 2\alpha} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sin \beta} = 2\cdot R, \quad
\frac{2\cdot b}{\sin 2\beta} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sin \alpha} = 2\cdot r
$$
Из двух последних равенств с учётом того, что $%\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$%, получаем
$$
\text{tg}\,\alpha=\frac{R}{r}, \quad \text{tg}\,\beta=\frac{r}{R}
$$
Площадь ромба равна
$$
S=2ab=2\cdot R\cdot r\cdot\sin2\alpha\cdot\sin2\beta = отвечен 23 Апр '17 22:37 
all_exist |
Отношения диагоналей могу найти, не больше(